2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функциональное уравнение
Сообщение07.02.2015, 09:19 
Аватара пользователя
Есть вещественнозначная функция $f(x)$, определенная на всех $x \geqslant 1$ и удовлетворяющая условиям: $f(1) = 1$ и $f'(x) = \frac{1}{x^2+(f(x))^2}$.
Найти эту функцию $f(x)$.

Я пытался как-то разделить переменные из данного уравнения, чтобы потом все поинтегрировать и найти эту функцию, но ничего не получилось. Помогите, пожалуйста.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение07.02.2015, 09:25 
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.02.2015, 09:42 
Это -- уравнение Риккати для $x(f)$, притом нехорошее. Разделить не выйдет.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.02.2015, 11:16 
Аватара пользователя
Функциональные уравнения - это совсем, совсем другое.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение07.02.2015, 17:04 
Аватара пользователя
$f'(1)=0.5$.
Правая часть дифференцируема, значит, и левая тоже. Взяв производную, можно получить $f''(1)=-0.75$.
Далее, теоретически можно показать, что функция бесконечно дифференцируема в единице, и получить для неё ряд Тейлора в этой точке. Если предположить аналитичность, то он будет однозначно определять функцию.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group