Арктангенс от комплексного числа

[MestnyBomzh]

То есть в этих точках он также равен еще какому-то комплексному числу?

[ex-math]

Вам надо систематически почитать что-то об элементарных функциях комплексного переменного, например, Привалов "Введение в ТФКП". Для этого не нужна никакая суровая теория, достаточно уметь обращаться с комплексными числами.
Кстати, косинус -- тоже неограниченная функция, $\cos iz=\mathrm{ch}\,z $.