Неограниченное выпуклое множество

[g______d]

grizzly в сообщении #973978 писал(а):

Объединение точек любых двух цветов в построенном там квадрате будет нужным множеством -- выпуклым, без внутренних точек.

Почему? Там только сказано, что ни на каком отрезке нет трёх точек разных цветов. Даже по картинке видно, что между синими точками попадаются как красные, так и зелёные. Ну или ткните пальцем в нужное утверждение.

grizzly в сообщении #973987 писал(а):

В Вашем утверждении точно не нужна замкнутость? Был бы искренне признателен за ссылку на доказательство.

Доказательство было произнесено одновременно с утверждением :)

[grizzly]

g______d
Протупил, так бывает :(
Спасибо!

[patzer2097]

AGu в сообщении #973963 писал(а):

Предлагаю ради простого развлечения придумать пример неограниченного выпуклого множества $C\subseteq\mathbb R^2$ и точки $x\in C$ таких, что $C$ не содержит лучей, исходящих из $x$.

Например, объединение полосы $x\in(0,1)$ и точки $\{(0,0)\}$ подойдет.

AGu в сообщении #973963 писал(а):

(2) исследовать аналогичный вопрос для локально выпуклых пространств или топологических векторных пространств.

А что Вы называете ограниченным множеством в топологическом пространстве?

[ewert]

AGu в сообщении #973963 писал(а):

Возьмем произвольное положительное число $\alpha$ и покажем, что $\alpha y\in C$. Можно считать, что $2\alpha y_n\in C$. Поскольку $0\in\operatorname{int}C$, можно считать, что $2\alpha(y-y_n)\in C$. Осталось заметить, что $\alpha y$ является полусуммой $2\alpha y_n$ и $$2\alpha(y-y_n)$.

Я бы завершил иначе. Если предельный луч не лежит в множестве, то пусть $z$ -- его конец. Тогда очевидно, что для достаточно далёкого номера отрезок $0x_n$ пересечёт опорную гиперплоскость точки $z$.

(насчёт неинтуитивности: мне кажется, что как раз такая идея в первую очередь и напрашивается)

[AGu]

patzer2097 в сообщении #974244 писал(а):

А что Вы называете ограниченным множеством в топологическом пространстве?

Только не «в топологическом», а в «топологическом векторном».
То же, что и g______d.
См., например, Bounded set (topological vector space).

[Evgenjy]

Конечномерный случай. Замкнутости не требуется.
Доказательство по индукции.
$n=1$. Очевидно.
$n+1$. Если выпуклое множество укладывается в гиперплоскость, то существование следует из индуктивного предположения. Если не укладывается, то существует внутренняя точка. Далее далее очевидно.

[ex-math]

Evgenjy в сообщении #974527 писал(а):

далее очевидно

Можно подробнее в этом месте?

[Evgenjy]

ex-math в сообщении #974582 писал(а):

Можно подробнее в этом месте?

Я написал "очевидно" потому что это уже здесь обсуждалось. Смотри

sup в сообщении #973878 писал(а):

А я рассуждал не так как в книжке. Надо взять внутреннюю точку в множестве $K$ и маленькую сферу вокруг нее. Пусть, для простоты, это точка 0 и единичная сфера. Сейчас мы ее накроем семейством открытых множеств и воспользуемся компактностью.

и другие, связанные с эти сообщения. Доказательство sup мне кажется верным. Я только немного по другому его организовал, что решило вопрос о существовании внутренней точки.

[ewert]

Evgenjy в сообщении #974606 писал(а):

Я только немного по другому его организовал, что решило вопрос о существовании внутренней точки.

А где там у Вас решение этого вопроса?...

Ну и кроме того, насчёт "очевидно" -- всё в точности наоборот. Хотя бы в том отношении, что существование внутренней точки -- факт общеизвестный, он много где нужен. Существование же луча -- факт и гораздо более частный, и гораздо менее тривиальный.