Ортогональное дополение

[Ward]

Здравствуйте!

Пусть $V$-- евклидово пространство и $W$ -- произвольное подмножество $V$. Пусть $W^{\perp}$-- ортогональное дополнение. Доказать, что $W\subset (W^{\perp})^{\perp}$.
Моя попытка решения: Пусть $z\in W$. Тогда $(z,y)=0$ для любого $y\in W^{\perp}$. Отсюда следует, что $z\in (W^{\perp})^{\perp}$ так как последнее эквивалентно тому, что $(z,y)=0$ для любого $y\in W^{\perp}$

Скажите пожалуйста это верно?

[arseniiv]

Ward в сообщении #974413 писал(а):

$W$ -- произвольное подмножество $V$

Вы ведь хотели написать «подпространство»?

Доказательство какое-то не очень аккуратное, но идея та (её трудно не угадать ).

[ewert]

Ward в сообщении #974413 писал(а):

Скажите пожалуйста это верно?

Верно.

arseniiv в сообщении #974420 писал(а):

Вы ведь хотели написать «подпространство»?

Нет, именно подмножество (там редактирований не было, и при этом было именно "$\subset$").

[Oleg Zubelevich]

кстати и для нормированных пространств это тоже верно, хотя этот факт не является обобщением предыдущего