Сумма ряда

[greg2]

Как посчитать сумму этого ряда?
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$

Если разложить на множители, то это дает $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}$. Если считать сумму первых k членов последовательности, то в итоге получается
$1+\sum_{n=2}^{k} \frac{(-1)^n}{n}+...$ и остаток из некоторого количества членов последовательности, знаменатель которых больше, чем $k$, и которые поэтому остаются "нетронутыми". Если найти предел, послав k к бесконечности, то получается ряд $1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}+\lim_{k \rightarrow \infty}...$. Можно оценить этот предел, и оценка дает, что этот предел меньше 1, но больше 1/2. Как это все в итоге посчитать - не знаю.

[ИСН]

Здесь могут помочь знание асимптотики гармонического ряда и слово "логарифм".

[greg2]

ИСН в сообщении #973985 писал(а):

Здесь могут помочь знание асимптотики гармонического ряда и слово "логарифм".

Ну а немного подробнее, пожалуйста?

[ИСН]

$\sum\limits_1^n{1\over k}=\ln n + const + o(1)$, как-то так

[Otta]

greg2
Умножить знаменатель на двойку, легче не станет, не?

[ИСН]

А, ну вот как здорово, и никакой асимптотики не надо.

[greg2]

Да, действительно. Спасибо