2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сумма ряда
Сообщение05.02.2015, 12:03 
Как посчитать сумму этого ряда?
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$

Если разложить на множители, то это дает $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}$. Если считать сумму первых k членов последовательности, то в итоге получается
$1+\sum_{n=2}^{k} \frac{(-1)^n}{n}+...$ и остаток из некоторого количества членов последовательности, знаменатель которых больше, чем $k$, и которые поэтому остаются "нетронутыми". Если найти предел, послав k к бесконечности, то получается ряд $1+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}+\lim_{k \rightarrow \infty}...$. Можно оценить этот предел, и оценка дает, что этот предел меньше 1, но больше 1/2. Как это все в итоге посчитать - не знаю.

 
 
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение05.02.2015, 12:28 
Аватара пользователя
Здесь могут помочь знание асимптотики гармонического ряда и слово "логарифм".

 
 
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение05.02.2015, 12:31 
ИСН в сообщении #973985 писал(а):
Здесь могут помочь знание асимптотики гармонического ряда и слово "логарифм".


Ну а немного подробнее, пожалуйста?

 
 
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение05.02.2015, 12:38 
Аватара пользователя
$\sum\limits_1^n{1\over k}=\ln n + const + o(1)$, как-то так :roll:

 
 
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение05.02.2015, 12:44 
greg2
Умножить знаменатель на двойку, легче не станет, не?

 
 
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение05.02.2015, 12:46 
Аватара пользователя
А, ну вот как здорово, и никакой асимптотики не надо.

 
 
 
 Re: Сумма ряда
Сообщение05.02.2015, 19:21 
Да, действительно. Спасибо

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group