Введём

- пройденный бусинкой путь, и

- угол, на который повёрнут вектор скорости по отношению к своему начальному положению.
Этот угол, естественно, полностью определяется формой провода, по которому скользит бусина.
Сила трения определяется величиной нормального ускорения (

- текущая скорость скольжения)

Уравнение для изменения скорости, происходящее на пути

откуда

Время, затрачиваемое на прохождение пути

, получаем интегрированием
![$$t=\frac{1}{V_0}\int_0^s \exp[k\alpha(x)]dx$$ $$t=\frac{1}{V_0}\int_0^s \exp[k\alpha(x)]dx$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/7/b175c080bf650a270b979972d1c6125882.png)
Например, если скольжение происходит по окружности радиуса

, то для затраченного времени имеем
![$$t=\frac{R}{kV_0}\left[\exp(ks/R)-1\right]$$ $$t=\frac{R}{kV_0}\left[\exp(ks/R)-1\right]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/e/b4ea5cba5c7fd4015856641c8e37146882.png)
Видно, что поскольку

конечна для любого

, рано или поздно бусина пройдёт весь провод от начала до конца, если он конечен.
До сих пор подразумевалось, что

- скалярная неубывающая функция пути

.
В более общем случае

в приведенных формулах в качестве

можно брать длину линии, которую (при прохождении бусиной своего пути)
описывает конец единичного вектора, параллельного

.