Бусинка

[dovlato]

На кусок провода надета бусинка, которая может скользить по нему.
В проводе отсутствуют изломы и резкие изгибы (т.е. характерные размеры любых изгибов провода велики по сравнению с бусинкой).
Длина провода не ограничена. Форма провода предполагается неизменной. Трение между бусинкой и проводом сухое, причём возникает оно только тогда,
когда на бусинку со стороны провода действует какая-либо боковая сила $N$, перпендикулярная локальной касательной к проводу.
Сила трения обычная: $F=kN$, где $k$ - постоянный коэффициент трения.
В наиболее простом случае (необязательном) форма провода плоская, а изгибы его происходят только в одну сторону.
Щелчком бусинка посылается скользить вдоль провода.
Спрашивается, во сколько раз изменится её скорость, когда её направление первый раз станет обратным начальному.
Обобщить решение для случая произвольного (не плоского) изгиба провода. Гравитации нет.

[Munin]

А почему провод, а не проволока? По нему что, пускают ток?

[Oleg Zubelevich]

уравнения движения пишутся в репере Френе

[dovlato]

Просто мне кажется, провод более жёсток, чем проволока)). Тут важна неизменность его формы.
Всуе Френе поминать..ну, дело вкуса.
Как ни странно, задача и впрямь решается довольно легко.

[dovlato]

Введём $s$ - пройденный бусинкой путь, и $\alpha=\alpha(s)$ - угол, на который повёрнут вектор скорости по отношению к своему начальному положению.
Этот угол, естественно, полностью определяется формой провода, по которому скользит бусина.
Сила трения определяется величиной нормального ускорения ($V$ - текущая скорость скольжения)

$$f=kmVd\alpha/dt=kmV(d\alpha/ds)(ds/dt)=kmV^2(d\alpha/ds)$$

Уравнение для изменения скорости, происходящее на пути $ds$

$$mdV+kmVd\alpha=0,$$

откуда

$$V=V_0\exp(-k\alpha)$$

Время, затрачиваемое на прохождение пути $s$, получаем интегрированием

$$t=\frac{1}{V_0}\int_0^s \exp[k\alpha(x)]dx$$

Например, если скольжение происходит по окружности радиуса $R$, то для затраченного времени имеем

$$t=\frac{R}{kV_0}\left[\exp(ks/R)-1\right]$$

Видно, что поскольку $\alpha(s)$ конечна для любого $s$, рано или поздно бусина пройдёт весь провод от начала до конца, если он конечен.
До сих пор подразумевалось, что $\alpha$ - скалярная неубывающая функция пути $s$.
В более общем случае $\vec\alpha$ в приведенных формулах в качестве $\alpha(s)$ можно брать длину линии, которую (при прохождении бусиной своего пути)
описывает конец единичного вектора, параллельного $\vec V(s)$.