Неограниченное выпуклое множество

[Padawan]

patzer2097 в сообщении #973690 писал(а):

Конечно, это стандартное утверждение, вот ссылка на известную книгу Грюнбаума

Там по ссылке доказано для замкнутого неограниченного выпуклого множества.

[g______d]

Padawan в сообщении #973868 писал(а):

Там по ссылке доказано для замкнутого неограниченного выпуклого множества.

Множество, о котором шла речь парой постов выше, замкнуто в $l^2$.

[NSKuber]

g______d в сообщении #973870 писал(а):

Padawan в сообщении #973868 писал(а):

Там по ссылке доказано для замкнутого неограниченного выпуклого множества.

Множество, о котором шла речь парой постов выше, замкнуто в $l^2$.

Не о том речь - после ссылки на книжку все как-то сразу отбросили изначально поставленный конечномерный случай, хотя в книжке доказательство для замкнутого множества, а вопрос в первом посте замкнутости не требует. Поэтому стоит для начала конечномерный случай всё-же закрыть.

[sup]

А я рассуждал не так как в книжке. Надо взять внутреннюю точку в множестве $K$ и маленькую сферу вокруг нее. Пусть, для простоты, это точка 0 и единичная сфера. Сейчас мы ее накроем семейством открытых множеств и воспользуемся компактностью.
От противного. Пусть в множестве нет бесконечного луча (с началом в точке 0). Рассмотрим пересечение произвольного луча и нашего множества. Это отрезок. Один его конец - точка на границе $K$. Проводим опорную гиперплоскость, берем на ней маленький открытый кружок и проектируем на сферу. Вот и открытое покрытие сферы. Выберем конечное подпокрытие. Тогда уже ясно, что множество $K$ накрыто конечным количеством ограниченных конусов. Значит оно и само ограничено.

[patzer2097]

(g______d)

g______d в сообщении #973852 писал(а):

При чем здесь топологическое пространство?

про топологическое пространство - это был ответ на

g______d в сообщении #973833 писал(а):

Ну вот я и не понимаю, что такое ограниченное множество в бесконечномерном векторном пространстве. Топологии там мы вроде не вводили.

(Padawan)

Padawan в сообщении #973868 писал(а):

Там по ссылке доказано для замкнутого неограниченного выпуклого множества.

Точно. Спасибо, исправил свой пост.

[Padawan]

sup
Это Вы дали доказательство для замкнутого множества $K$, такого как в книжке?

[sup]

Для любого. В доказательстве не фигурирует замкнутость $K$.

-- Чт фев 05, 2015 13:05:38 --

Здесь важно отметить, что в самом начале выбирается именно внутренняя точка множества $K$, а не какая придется. Поэтому опорная гиперплоскость не может быть касательной к лучу.

[Padawan]

sup в сообщении #973878 писал(а):

Надо взять внутреннюю точку в множестве $K$ и маленькую сферу вокруг нее.

Что значит "внутренняя точка"? Почему она найдется?

patzer2097 в сообщении #973880 писал(а):

Рассмотрим пересечение произвольного луча и нашего множества. Это отрезок.

Для незамкнутого множества может быть и полуинтервалом.

[sup]

Внутренняя - это значит содержится в $K$ вместе с маленьким шариком. Все как обычно. Формально, у множества $K$ может не быть внутренности. Но тогда надо перейти в соответствующее подпространство и все рассуждения проводить в нем.
Далее, пересечение - полуинтервал. Один конец - точка 0. А другой конец - точка на границе $K$. Вот через нее и проводим опорную гиперплоскость. Да можно и через любую на этом луче, лишь бы не принадлежала $K$. Эта гиперплоскость не может содержать данный луч. Иначе точка 0 не будет внутренней. Ну а дальше по тексту. Мы строим узкий конус, накрывающий этот полуинтервал. Этот конус на маленькой сфере вырезает открытое множество (в индуцированной топологии). Открытое покрытие, конечное подпокрытие итд.

[Padawan]

sup в сообщении #973919 писал(а):

Но тогда надо перейти в соответствующее подпространство и все рассуждения проводить в нем.

А такое подпространство точно найдется? Ну да найдется -- возьмем симплекс наибольшей размерности в $K$

[sup]

я, как раз, сижу и описываю конструкцию. Идея простая. Пусть $0 \in K$. Рассмотрим линейную оболочку векторов из $K$. Это то пространство $R^k$, что нам надо. Возьмем в $K$ $k+1$ точку, которые образуют симплекс. В силу выпуклости его внутренность тоже содержится в $K$. Сейчас опишу подробнее.

-- Чт фев 05, 2015 13:26:14 --

Ну да. Значит можно не описывать.

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #973921 писал(а):

возьмем симплекс наибольшей размерности в $K$

Я точь в точь такие слова и использовал. Но потом решил, что могут возникнуть всякие сомнения и начал выдумывать более строгую конструкцию

[AGu]

Спасибо за отклики, друзья!

мат-ламер в сообщении #973671 писал(а):

В одном популярном учебнике в парагр. 8 читаю "Очевидно, если $C$ неограничено (выпуклость подразумевается), то существует целый луч, исходящий из точки $x$ (здесь $x$ - произвольная точка из $C$), который целиком принадлежит $C$". Далее идёт теория, котрая поясняет это "очевидно".

Увы, если заглянуть в ту «теорию», то можно увидеть, что процитированное утверждение (которое для произвольной точки $x$) доказано там лишь в случае замкнутого $C$. Кстати, для произвольного $C$ оно неверно. (Стало быть, автор учебника был весьма неосторожен в этом своем высказывании.) Предлагаю ради простого развлечения придумать пример неограниченного выпуклого множества $C\subseteq\mathbb R^2$ и точки $x\in C$ таких, что $C$ не содержит лучей, исходящих из $x$.

Возвращаюсь к исходной задачке... (Я так и не смог найти учебник/монографию/статью с этим утверждением: всюду либо множество замкнуто, либо что-то еще дополнительное требуется.)

Мне очень понравилось решение sup, спасибо! Оно прозрачное. Благодаря ему исходное утверждение действительно можно назвать очевидным.

Для очистки совести приведу задуманное мной доказательство (скучное и неинтуитивное).

Итак, пусть $C\subseteq X$ — неограниченное выпуклое подмножество конечномерного векторного пространства $X$. Не нарушая общности, будем предполагать, что $0\in\operatorname{int}C$ (см. рассуждения sup и Padawan). Рассмотрим произвольную норму $\|{\cdot}\|$ на $X$ и такую последовательность ненулевых элементов $x_n\in C$, что $\|x_n\|\to\infty$. Положим $y_n:=x_n/\|x_n\|$. [В дальнейшем фраза «можно считать» означает переход к подходящей подпоследовательности.] Благодаря компактности сферы можно считать, что $y_n\to y$ для некоторого $y\in X$. Возьмем произвольное положительное число $\alpha$ и покажем, что $\alpha y\in C$. Можно считать, что $2\alpha y_n\in C$. Поскольку $0\in\operatorname{int}C$, можно считать, что $2\alpha(y-y_n)\in C$. Осталось заметить, что $\alpha y$ является полусуммой $2\alpha y_n$ и $$2\alpha(y-y_n)$.

Теперь, решив исходную задачку, можно рассмотреть случай бесконечномерного пространства. Предлагаю (1) доказать, что в любом бесконечномерном нормированном пространстве существует неограниченное выпуклое множество, не содержащее лучей, и, если не лень, (2) исследовать аналогичный вопрос для локально выпуклых пространств или топологических векторных пространств.

P.S. Перечитал поступившие отклики. Задача (1) фактически решена (во всяком случае, на уровне идеи). Ну да ладно, это все уже не очень интересно, бесконечномерными странностями никого не удивишь.

[grizzly]

Несложно привести пример выпуклого множества, всюду плотного в квадрате $[0;1]^2$, которое не имеет ни одной внутренней точки. Такой пример был рассмотрен в этой теме в качестве контрпримера к последней Лемме.

Вот прямая ссылка на построение множества. Объединение точек любых двух цветов в построенном там квадрате будет нужным множеством -- выпуклым, без внутренних точек.

[AGu]

grizzly в сообщении #973978 писал(а):

Несложно привести пример выпуклого множества, всюду плотного в квадрате $[0;1]^2$, которое не имеет ни одной внутренней точки.

Так не бывает. Если выпуклое подмножество плоскости содержит три точки, не лежащие на одной прямой, то оно содержит (невырожденный) треугольник с вершинами в этих точках, а значит, имеет внутреннюю точку.

[grizzly]

AGu в сообщении #973980 писал(а):

Если выпуклое подмножество плоскости содержит три точки, не лежащие на одной прямой, то оно содержит (невырожденный) треугольник с вершинами в этих точках, а значит, имеет внутреннюю точку.

Тогда помогите мне разобраться, пожалуйста. Ваше утверждение противоречит утверждению в статье по ссылке (если я правильно понимаю оба утверждения). В доказательстве по ссылке я не вижу ошибки. В Вашем утверждении точно не нужна замкнутость? Был бы искренне признателен за ссылку на доказательство.