2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Неограниченное выпуклое множество
Сообщение04.02.2015, 19:13 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Неограниченное выпуклое подмножество конечномерного пространства содержит луч.

(Кстати, если это не просто фольклор, а баян или классика, буду признателен за ссылку на учебник/монографию/статью.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение04.02.2015, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7135
AGu в сообщении #973645 писал(а):
(Кстати, если это не просто фольклор, а баян или классика, буду признателен за ссылку на учебник/монографию/статью.)

В одном популярном учебнике в парагр. 8 читаю "Очевидно, если $C$ неограничено (выпуклость подразумевается), то существует целый луч, исходящий из точки $x$ (здесь $x$ - произвольная точка из $C$), который целиком принадлежит $C$". Далее идёт теория, котрая поясняет это "очевидно". Доказывамая теорема существенно опирается на конечномерность пространства. И верно ли это в бесконечномерном пространстве отнюдь неочевидно. Ссылку на источник передал через ЛС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение04.02.2015, 20:44 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Конечно, это стандартное утверждение, вот ссылка на известную книгу Грюнбаума.

UPD. Как выяснилось, утверждения, о котором спрашивал ТС, по ссылке все-таки нет. Прошу прощения :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение04.02.2015, 20:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
мат-ламер в сообщении #973671 писал(а):
Очевидно, если $C$ неограничено


А что значит "неограничено"?

(Оффтоп)

ЦNТNРОВАНИЕ NСПРАВЛЕНО

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение04.02.2015, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7135
g______d в сообщении #973695 писал(а):
А что значит "неограничено"?

Неограничено по диаметру. Т.е. существуют две точки с произвольно большим расстоянием между ними.

Если конечномерный случай очевиден, то в качестве олимпиадного задания предлагается рассмотреть бесконечномерный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение04.02.2015, 21:34 
Заслуженный участник


14/03/10
867

(g______d)

g______d в сообщении #973695 писал(а):
patzer2097 в сообщении #973690 писал(а):
Очевидно, если $C$ неограничено
:oops: я этого не писал

мат-ламер в сообщении #973710 писал(а):
Если конечномерный случай очевиден, то в качестве олимпиадного задания предлагается рассмотреть бесконечномерный случай
ну в $\mathbb{R}^\infty$ пересечение любого конечномерного подпространства с выпуклой оболочкой точек $(1,0,0,0...)$, $(0,2,0,0,...)$, $(0,0,3,0,...)$, $...$ ограничено. Конечномерный случай все-таки не настолько прост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
мат-ламер в сообщении #973710 писал(а):
Неограничено по диаметру. Т.е. существуют две точки с произвольно большим расстоянием между ними.


мат-ламер в сообщении #973710 писал(а):
в качестве олимпиадного задания предлагается рассмотреть бесконечномерный случай.


Ну вот я и не понимаю, что такое ограниченное множество в бесконечномерном векторном пространстве. Топологии там мы вроде не вводили.

(Оффтоп)

-- Ср, 04 фев 2015 15:11:18 --

patzer2097 в сообщении #973713 писал(а):
:oops: я этого не писал


Да, исправил, сорри.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 01:47 
Заслуженный участник


14/03/10
867
g______d в сообщении #973833 писал(а):
Топологии там мы вроде не вводили.
Честно говоря, не знаю, как определяется ограниченное множество в топологическом пространстве. Но если на бесконечном пространстве задана метрика, то такой же пример [неограниченного выпуклого подмножества конечномерного пространства, не содержащего лучей], как и выше, можно построить всегда. Или я что-то неправильно понял? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 03:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
patzer2097 в сообщении #973844 писал(а):
Честно говоря, не знаю, как определяется ограниченное множество в топологическом пространстве.


При чем здесь топологическое пространство? У нас пока что есть бесконечномерное векторное пространство, и все.

-- Ср, 04 фев 2015 17:03:15 --

patzer2097 в сообщении #973844 писал(а):
Честно говоря, не знаю, как определяется ограниченное множество в топологическом пространстве.


Если оно топологическое векторное локально выпуклое, то множество $X$ называется ограниченным, если для любой окрестности нуля существует $\varepsilon>0$, такое что $\varepsilon X$ лежит в этой окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 03:15 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
g______d в сообщении #973833 писал(а):
Ну вот я и не понимаю, что такое ограниченное множество в бесконечномерном векторном пространстве.
Аналогично. Если для определения использовать диаметр, то единичный куб в бесконечномерном векторном пространстве получается неограниченным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 04:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
venco в сообщении #973853 писал(а):
Аналогично. Если для определения использовать диаметр, то единичный куб в бесконечномерном векторном пространстве получается неограниченным.


Это тоже не очень понятно. Вы, видимо, имеете в виду $l^2$-диаметр. Но в $l^2$ не бывает единичного куба. Единичный куб бывает в $l^{\infty}$, но там он имеет единичный диаметр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 04:30 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
g______d в сообщении #973859 писал(а):
Но в $l^2$ не бывает единичного куба.
Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 05:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
venco в сообщении #973861 писал(а):
Почему?


В смысле что не все точки $[-1,1]^{\mathbb N}$ принадлежат $l^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 05:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11352
Hogtown
g______d в сообщении #973864 писал(а):
В смысле что не все точки $[-1,1]^{\mathbb N}$ принадлежат $l^2$.

Ну и что? Мы возьмем только принадлежащие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неограниченное выпуклое множество
Сообщение05.02.2015, 06:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
А, понял. Это было контрпримером к исходному вопросу. Да, пересечение выпукло, не ограничено в $l^2$ и не содержит луча.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group