Неограниченное выпуклое множество

[AGu]

Неограниченное выпуклое подмножество конечномерного пространства содержит луч.

(Кстати, если это не просто фольклор, а баян или классика, буду признателен за ссылку на учебник/монографию/статью.)

[мат-ламер]

AGu в сообщении #973645 писал(а):

(Кстати, если это не просто фольклор, а баян или классика, буду признателен за ссылку на учебник/монографию/статью.)

В одном популярном учебнике в парагр. 8 читаю "Очевидно, если $C$ неограничено (выпуклость подразумевается), то существует целый луч, исходящий из точки $x$ (здесь $x$ - произвольная точка из $C$), который целиком принадлежит $C$". Далее идёт теория, котрая поясняет это "очевидно". Доказывамая теорема существенно опирается на конечномерность пространства. И верно ли это в бесконечномерном пространстве отнюдь неочевидно. Ссылку на источник передал через ЛС.

[patzer2097]

Конечно, это стандартное утверждение, вот ссылка на известную книгу Грюнбаума.

UPD. Как выяснилось, утверждения, о котором спрашивал ТС, по ссылке все-таки нет. Прошу прощения

[g______d]

мат-ламер в сообщении #973671 писал(а):

Очевидно, если $C$ неограничено

А что значит "неограничено"?

(Оффтоп)

ЦNТNРОВАНИЕ NСПРАВЛЕНО

[мат-ламер]

g______d в сообщении #973695 писал(а):

А что значит "неограничено"?

Неограничено по диаметру. Т.е. существуют две точки с произвольно большим расстоянием между ними.

Если конечномерный случай очевиден, то в качестве олимпиадного задания предлагается рассмотреть бесконечномерный случай.

[patzer2097]

(g______d)

g______d в сообщении #973695 писал(а):

patzer2097 в сообщении #973690 писал(а):

Очевидно, если $C$ неограничено

я этого не писал

мат-ламер в сообщении #973710 писал(а):

Если конечномерный случай очевиден, то в качестве олимпиадного задания предлагается рассмотреть бесконечномерный случай

ну в $\mathbb{R}^\infty$ пересечение любого конечномерного подпространства с выпуклой оболочкой точек $(1,0,0,0...)$, $(0,2,0,0,...)$, $(0,0,3,0,...)$, $...$ ограничено. Конечномерный случай все-таки не настолько прост.

[g______d]

мат-ламер в сообщении #973710 писал(а):

Неограничено по диаметру. Т.е. существуют две точки с произвольно большим расстоянием между ними.

мат-ламер в сообщении #973710 писал(а):

в качестве олимпиадного задания предлагается рассмотреть бесконечномерный случай.

Ну вот я и не понимаю, что такое ограниченное множество в бесконечномерном векторном пространстве. Топологии там мы вроде не вводили.

(Оффтоп)

-- Ср, 04 фев 2015 15:11:18 --

patzer2097 в сообщении #973713 писал(а):

:oops: я этого не писал

Да, исправил, сорри.

[patzer2097]

g______d в сообщении #973833 писал(а):

Топологии там мы вроде не вводили.

Честно говоря, не знаю, как определяется ограниченное множество в топологическом пространстве. Но если на бесконечном пространстве задана метрика, то такой же пример [неограниченного выпуклого подмножества конечномерного пространства, не содержащего лучей], как и выше, можно построить всегда. Или я что-то неправильно понял?

[g______d]

patzer2097 в сообщении #973844 писал(а):

Честно говоря, не знаю, как определяется ограниченное множество в топологическом пространстве.

При чем здесь топологическое пространство? У нас пока что есть бесконечномерное векторное пространство, и все.

-- Ср, 04 фев 2015 17:03:15 --

patzer2097 в сообщении #973844 писал(а):

Честно говоря, не знаю, как определяется ограниченное множество в топологическом пространстве.

Если оно топологическое векторное локально выпуклое, то множество $X$ называется ограниченным, если для любой окрестности нуля существует $\varepsilon>0$, такое что $\varepsilon X$ лежит в этой окрестности.

[venco]

g______d в сообщении #973833 писал(а):

Ну вот я и не понимаю, что такое ограниченное множество в бесконечномерном векторном пространстве.

Аналогично. Если для определения использовать диаметр, то единичный куб в бесконечномерном векторном пространстве получается неограниченным.

[g______d]

venco в сообщении #973853 писал(а):

Аналогично. Если для определения использовать диаметр, то единичный куб в бесконечномерном векторном пространстве получается неограниченным.

Это тоже не очень понятно. Вы, видимо, имеете в виду $l^2$-диаметр. Но в $l^2$ не бывает единичного куба. Единичный куб бывает в $l^{\infty}$, но там он имеет единичный диаметр.

[venco]

g______d в сообщении #973859 писал(а):

Но в $l^2$ не бывает единичного куба.

Почему?

[g______d]

venco в сообщении #973861 писал(а):

Почему?

В смысле что не все точки $[-1,1]^{\mathbb N}$ принадлежат $l^2$.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #973864 писал(а):

В смысле что не все точки $[-1,1]^{\mathbb N}$ принадлежат $l^2$.

Ну и что? Мы возьмем только принадлежащие.

[g______d]

А, понял. Это было контрпримером к исходному вопросу. Да, пересечение выпукло, не ограничено в $l^2$ и не содержит луча.