Сизиф

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #972605 писал(а):

которое сокращается со вкладом метрики...

в каком смысле сокращается? сформулируйте свое утверждение так, чтоб его можно было проверить

[Munin]

Проверьте сразу сообщение post972507.html#p972507 , это куда интересней.

[Oleg Zubelevich]

Поведение геодезических в задаче о Сизифе можеет качественно отличаться от поведения стандартных (в смысле метрики ,индуцированной из $\mathbb{R}^3$) геодезических на той же поверхности. Из общих соображений, в этом удивительного ничего нет, но при физической интерпретации, в данной конкретной задаче, это может быть любопытным.
Так, например, рассмотриим поверхность, которая в цилиндрических координатах $(z,r,\psi)$ задана уравнением $z=\frac{1}{1+r^8}$. В стандартной метрике на этой поверхности нет замкнутых геодезических, а в метрике Сизифа (cила тяжести направлена вдоль оси $z$) -- сколько угодно. Причем имеются как устойчивые так и неустойчивые замкнутые траектории.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #972658 писал(а):

Поведение геодезических в задаче о Сизифе можеет качественно отличаться от поведения стандартных (в смысле метрики ,индуцированной из $\mathbb{R}^3$) геодезических на той же поверхности.

Это да. Но речь-то о геодезических на плоскости.

[dovlato]

Похоже, К.Ф. Гаусс уже всё это знал.

[dovlato]

Кстати. В XXI-м веке Сизиф уже возит свой камень хоть и вручную, но - на тележке. По отличному шоссе..да-с.
Пункты А и В больше уже не меняются. Вопрос тот же: как провести это шоссе, чтобы минимизировать потери на трение.
Решение принципиально иное.

[Oleg Zubelevich]

загадками говорите

[dovlato]

Ну хорошо. Шоссе -лента, поперечная образующая которой везде горизонтальна. Шириной ленты пренебрегаем.

[Oleg Zubelevich]

какова природа трения? сухое вязкое какое?

[dovlato]

Закон такой же как обычно. Сухое трение, $F_{fric}=kN$, где $N$- нормальная составляющая силы тяжести.

[Red_Herring]

На самом деле весь анализ выше предполагает что склоны достаточно пологи. Если шар или колесо само может катиться вниз то у Сизифа нет возможности аккумулировать высвобожденную энергию, т.е. работа на данном участке будет нулевая, а не отрицательная

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #972412 писал(а):

:

$$\int_A^BQ_idx^i=-km\int_A^B|(\overline g,\overline n)|ds+m\int_A^B\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline g\Big)dx^i$$

($s$ -- натуральный параметр на кривой)
Последнее слагаемое пропорционально высоте между точками $A$ и $B$, значит оно не зависит от кривой, и поэтому оно из задачи выбрасывается

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #973552 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #972412 писал(а):

:

$$\int_A^BQ_idx^i=-km\int_A^B|(\overline g,\overline n)|ds+m\int_A^B\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline g\Big)dx^i$$

($s$ -- натуральный параметр на кривой)
Последнее слагаемое пропорционально высоте между точками $A$ и $B$, значит оно не зависит от кривой, и поэтому оно из задачи выбрасывается

А мне кажется что следует записать

$$ \int_A^B\biggl( km (\overline g,\overline n)|-m\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline g\Big)\frac{dx^i}{ds}\biggr)_+ ds$$

(я знак сменил, чтобы работу Сизифа считать), где $K_+=\max (K,0)$. Ну и такой наивный аргумент: допустим есть гора $z=N(1-x^2-y^2)_+$ и нашему героя следует перетащится из $(-1,0,0)$ в $(1,0,0)$. Тогда экстремалью будет парабола (проектируемая на $xy$ как отрезок от $(-1,0)$ до $(1,0)$) но при достаточно большом $N$ очевидно полуокружности $z=0$, $x^2+y^2=1$, $\pm y>0$ будут гораздо выгоднее.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Sicker в сообщении #972507 писал(а):

Прямая линия
Проекция геодезической на рельефе на плоскость $(x_{1},x_{2})$ будет прямой линией, так если мы рассмотрим локальную окрестность рельефа, то работа на бесконечно малом перемещении будет пропорциональна проекции этого перемещения на плоскость $(x_{1},x_{2})$
Sapiety sat, господа

я ,честно говоря, не очень понял, что тут написано, но если тут написано, что ортогональная проекция вдоль $\overline g$ геодезической Сизифа на плоскость есть прямая, то это неверно. См. пример выше

[Sicker]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #973585 писал(а):

я ,честно говоря, не очень понял, что тут написано, но если тут написано, что ортогональная проекция вдоль $\overline g$ геодезической Сизифа на плоскость есть прямая, то это неверно. См. пример выше

Я честно говоря не понял ваш пример, но если из него следует, что ортогональная проекция вдоль $\overline g$ геодезической Сизифа на плоскость не есть прямая, то это неверно, см мой пример выше