Сделать норму евклидовой

[RIP]

С постоянной $C=\sqrt[4]n$ это теорема Джона (лень искать норм. ссылку).

[Red_Herring]

http://en.wikipedia.org/wiki/John_ellipsoid

[ewert]

Padawan в сообщении #972121 писал(а):

А как у вас получается, что в при $n=2$ можно взять $C(2)=\sqrt{2}$ ?

Ну там вполне тупо. Опишем круг для данной нормы параллелограммом, точки касания к которому приходятся на середины его сторон (это, с точностью до заклинаний, вполне очевидно возможно). А тогда эта норма зажата между соотв. равномерной и "линейной", и между ними же зажата соотв. евклидова, ч.т.д.

Вот обобщить это на энмерный случай уже проблема. Хотя мне как-то и не верится, что это невозможно.

[Padawan]

RIP в сообщении #972296 писал(а):

С постоянной $C=\sqrt[4]n$ это теорема Джона (лень искать норм. ссылку).

А почему Вы написали корень четвертой степени? По ссылке написано, что если выпуклое тело $K$ центрально симметрично, то $K\subset \sqrt{n}\, \mathcal{E}$. То есть $C(n)=\sqrt{n}$.

[RIP]

Padawan в сообщении #972363 писал(а):

А почему Вы написали корень четвертой степени?

Просто там неравенство несимметричное: $\|x\|\leqslant\|x\|_e\leqslant\sqrt n\|x\|$. Если норму подправить в $\sqrt[4]n$ раз, то будет $n^{-1/4}\|x\|\leqslant n^{-1/4}\|x\|_e\leqslant n^{1/4}\|x\|$.

[Padawan]

Понял. Вместо нормы, задаваемой эллипсоидом $\mathcal E$, рассмотрим норму, задаваемую эллипсоидом $\sqrt[4] n \mathcal E$. Туплю

[Ivan Feshchenko]

Легко показать, что лучше $n^{1/4}$ ничего быть не может.

Действительно, рассмотрим пространство $X=l^{\infty}_n$ (т.е. пространство $\mathbb{R}^n$ в вещественном случае и $\mathbb{C}^n$ в комплексном с нормой $\|x\|_{\infty}=\max{|x_1|,\ldots,|x_n|\}$, где $x=(x_1,\ldots,x_n)$).
Так вот, если на $X$ есть норма $\|\cdot\|$, порождаемая скалярным произведением, и $C$-эквивалентная исходной норме $\|\cdot\|_\infty$, то $C\geqslant n^{1/4}$.

Для доказательства обозначим $e_k$, $k=1,\ldots,n$ стандартный базис в $X$.
Ясно, что нормы всех векторов базиса равны 1: $\|e_i\|_\infty=1$, а также
$\|\varepsilon_1 e_1+\ldots+\varepsilon_n e_n\|_\infty=1$ для $\varepsilon_i=\pm 1$.

Поскольку $\|\cdot\|$ порождена скалярным произведением, то
$\dfrac{1}{2^n}\sum_{\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n=\pm 1}\|\varepsilon_1 e_1+\ldots+\varepsilon_n e_n\|^2= \sum_{i=1}^n\|e_i\|^2$.
Но левая часть не превосходит $C^2$, а правая не меньше $n\times\dfrac{1}{C^2}$.
Таким образом, $C^2\geqslant\dfrac{n}{C^2}$, откуда $C\geqslant n^{1/4}$.

[ewert]

Ivan Feshchenko в сообщении #973342 писал(а):

Легко показать, что лучше $n^{1/4}$ ничего быть не может.

Это, конечно, очевидно, но Вы этого не доказали: евклидова и равномерная норма не обязаны быть стандартными одновременно.

[Padawan]

ewert
Там $\|\cdot\|$ -- произвольная евклидова норма на $X$.