Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, решить и проверьте правильность сделанного.
Задача №1Цитата:
Исследуйте сходимость и найдите предел последовательности

в зависимости от параметра

.
Я непосредственно выписал несколько первых членов последовательности и обратил внимание, что члены с чётными номерами больше предыдущего члена, а с нечётными – меньше, то есть

. Какой-то ярко выраженной монотонности нет. Также исходя из вышесказанного можно сделать вывод, что предел, если он есть, заключён между вторым и третьим членами последовательности.
Задача №2Цитата:
Пусть

. Могут ли одновременно сходиться ряды

и

?
Пробовал записать критерий Коши для второго ряда и показать, что он не выполяется при выполении критерия для первого ряда, но не получилось.
Задача №3Цитата:
Найдите все непрерывные функции

такие, что

.
Если я правильно понимаю, то на основании условия можно записать

, потом

и так далее... В результате получим, что для всех таких функций, у которых

. Это правильное рассуждение?
Задача №4Цитата:
Найдите

, если

.
Такие задачи обычно удобно решать при помощи разложения в ряд Тейлора, где n-ая производная – это коэффициент при

, умноженный на

. Но в данном случае я как-то запутался. Ряд Маклорена для шинуса имеет вид

, то есть он «проскакивает» чётные степени и, соответственно, пятидесятую. Как вычленить из ряда нужную производную в таком случае?
Задача №5Цитата:
Для бесконечно дифференцируемой функции

пусть

– радиус сходимости ряда Тейлора этой функции, разложенной в точке

. Укажите функцию

, такую что

для всех

.
Для степенного ряда

радиус сходимости находится как
![$r_f(x)=\frac{1}{\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{c_n}}$ $r_f(x)=\frac{1}{\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{c_n}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/7/1f7ce199b275446c4d336b32bc4d82f682.png)
. Тогда будем иметь

и, подставляя такие коэффициенты в тейлоровское разложение, получим представление

. Но, пожалуй, это неправильное решение. Ведь таким образом я не называю конкретную функцию, а лишь записываю её ряд Тейлора. И имел ли я право так легко отойти от предельного перехода? Если рассуждение неверное, то в каком направлении думать?
P.S. Также заметил, что выражение для радиуса сходимости похоже на перевёрнутую производную от

, но не догадываюсь, как это использовать.
Подскажите, пожалуйста, в чём я не прав и дайте советы по решению этих задач.