Вот есть толпа людей на улице. Некоторых я знаю по именам: это Вася, Петя, Маша и т. д. Некоторых не знаю, они для меня просто человеки.
А теперь мне вдруг захотелось поизвращаться. Я могу сделать две вещи.
1) Переобозвать людей. Скажем, начну называть Петю Машей, а Машу --- Петей. Сами люди при этом остаются теми же и делают то же самое, что и делали раньше. Меняются только имена, которые я им даю.
2) Имена я могу оставить прежними, а вместо этого заставлю одних людей исполнять функции других людей. Скажем, Петя до моего вмешательства шёл в магазин за кефиром, а Вася --- на свидание к Маше. И тут я подойду, наставлю на Машу заряженный револьвер и скажу ей: "Иди ты теперь в магазин за кефиром, а то убью". А потом наставлю револьвер на Петю и заставлю его целоваться с Васей вместо Маши. Револьвер --- серьёзный аргумент, так что они, скорее всего, меня послушают.
Эти два случая совершенно различны. Одно дело --- поменять имена элементов, а другое дело --- изменить их свойства. Думаю, для Васи разница очевидна. Если спросить у него, каким способом мне лучше сходить с ума, он тут же скажет: "Конечно первым! Ради Бога, называй Петю Машей, если тебе так хочется, но только не заставляй меня с ним целоваться!"
А вот теперь определитесь, что Вы хотите сделать с действительными числами и с операциями над ними. Если хотите поизвращаться на первый, лёгкий манер, то есть просто начать называть четвёрку пятёркой и наоборот, то это одно. А если Вы хотите, не меняя их названий, поменять их местами, то есть перетащить четверку на место пятёрки, а пятёрку на место четвёрки, то это совершенно другое. Мы с
AD именно это по Вашей просьбе и проделывали
А теперь --- внимание: изоморфизм. Это совсем-совсем третье...
Вот предположим, что я, ничего не делая с людьми, просто пишу с натуры картину жизни общества. Сижу и записываю в тетрадочку: Петя пошёл в магазин, у Маши с Васей свидание... Записал, отложил тетрадочку. Потом поизвращался над людьми сразу обоими способами. То есть сначала назвал Петю Машей и наоборот, а потом ещё вдобавок подошёл к ним с револьвером и заставил поменятся ролями. Потом достал новыю тетрадочку и опять начал всё записывать. Записал, поставил точку, достал первою тетрадочку и сравнил, что написано там и там. И тут вдруг обнаружилась удивительная вещь: текст в обоих тетрадях оказался идентичен!
Это вовсе не значит, что идентичными были ситуации. Первый раз Васе приятно было целоваться, а второй раз нет. Если бы я был телепатом и записывал мысли Васи, то и тексты бы у меня тогда различались. Но я описывал лишь внешнюю сторону событий, а она оказалась одинакова. Структура общества в том виде, как она была наблюдаема со стороны, была одной и той же: субъект по имени "Петя" шёл за кефиром, субъекты "Вася" и "Маша" проводили время вместе. Ситуации, как сказал бы математик, были "изоморфными".
Изоморфизм --- это не что иное, как совпадение форм (залезьте в этимологический словарь и попробуйте перевести это слово с греческого
) Изоморфны, например, два кубика, один из которых железный, а другой пластилиновый. При этом кубики различны: различие можно легко пощупать рукой. Но для геометра они одинаковы, поскольку материал его не интересует. Изоморфны ключи, открывающие один и тот же замок, несмотря на то, что в комплекте их может быть несколько. Изоморфны векторные пространства одинаковой размерности, изоморфны все счётные плотные линейные порядки без концов... Если мы берём группу перестановок трёх яблок и группу перестановок трёх груш, то эти группы тоже изоморфны, ибо у них одинаковая групповая структура (а какие мы там фрукты переставляем, для математика неважно).
Тут вот ранее упоминалась теорема о том, что "числовых структур" с точностью до изоморфизма всего пять. Это очень глубокая теорема: она говорит о том, что возможны всего лишь пять форм таких структур и не более. Самих-то структур, понятно, можно наляпать сколько угодно. Они будут состоять из разного материала, иметь разные носители или даже один и тот же носитель, но с различными интерпретациями "функций" и "имён", однако... если мы сядем и будем записывать в тетрадочку их наблюдаемые свойства (aka доказывать про них теоремы), то, как оказывается, можно создать всего лишь пять таких описаний!
Ладно, закругляюсь. Математики обычно рассматривают все свои структуры с точностью до изоморфизма (гомеоморфизма, эквивалентности, подобия etc., в каждой области терминология своя). Можно привязаться к одной конкретной структуре и начать менять имена, которые носят её элементы, "переставлять" их различными способами... Если вас привлекает такой ментальный онанизм --- занимайтесь им на здоровье. Но не ищите в подобных манипуляциях чего-то глубокого, там его просто нет. Глубина не в этом, глубина заключается в постижении свойств, присущих формам объектов.
P. S. "Изоморфные операции"... тьфу! Операция --- это элемент структуры, а изоморфность --- свойство структур, рассматриваемых "целиком", которое заключается в том, что они... ну слеплены что-ли по одному образцу, нарисованы по одному трафарету. Вот, скажем, два автомобиля одной марки, сошедшие с заводского конвейера один за другим --- они изоморфны. А теперь я беру и фиксируюсь на одном из них. У него есть кузов, двигатель, колёса, карданный вал. А я вдруг возьму у него колесо и карбюратор и скажу: "Мы пока определяли лишь изоморфизм автомобилей, но поскольку я взял две детали с одного и того же автомобиля, то я вправе говорить об изоморфизме этих деталей и я скажу, что колесо и карбюратор, снятые с одной и той же тачки, изоморфны..." Покажите мне хоть одну разумную особь, у которой от таких слов не завянут уши!
Поле --- это объект, типа автомобиля. А операции --- его детальки, навроде колёс и карбюратора. Осознайте это!!!
Да, ну и то, что перед этим, тоже забавно.
? Нет, ну я вам ответил уже, чем цифры отличаются. В смысле указал. В предыдущем сообщении. Тем же самым они отличаются. Цифры - это на самом деле тоже слова, только попроще. А в конце концов всё упирается в ZFC, и там множества по "аксиоме объемности" отличаются своими элементами, и только ими. 
