Задача Коши для ДУ (интересный пример НЕединственности)

[Профессор Снэйп]

Народ! Подскажите, пожалуйста, в каким случаях задача Коши имеет единственное решение. Или киньте хорошую ссылку (по возможности с указанием страниц), где бы всё было чётко расписано. Стыдно, конечно, спрашивать такие базовые вещи, но, правда... совсем всё забыл Да диффуры никогда и не были моей сильной стороной. Всю жизнь любил "дискретную" сторону математики, диффуры и урматы всегда плохо давались.

Мне почему-то казалось, что задача Коши всегда имеет единственное решение, если что-то там, входящее в диффур, определено везде и достаточно гладкое. Но сейчас только что пришло в голову, что если рассмотреть уравнение

$$ x^3 y' - 2y = 0 $$

с условием, скажем, $y(-1)=0$, то решений у него --- вагон и маленькая тележка. Где тут подвох, какое условие не учтено?

[antbez]

Почему? В этом случае разве есть особые рашения? И константа определяется однозначно.

[AD]

Странно ... а какие тут могут быть решения, кроме $y=e^{2-\frac1{2x^2}}$?

(потом добавил: ужас, какая глупость !... :oops: )

[Henrylee]

AD писал(а):

Странно ... а какие тут могут быть решения, кроме $y=e^{2-\frac1{2x^2}}$?

Разве не $y=0$ единственное решение этой задачи Коши?

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Странно ... а какие тут могут быть решения, кроме...

Ну, например,

$$ y(x) = \begin{cases} 0, & x \leqslant 0 \\ e^{-1/x^2}, & x > 0 \end{cases} $$

Все решения этого диффура распадаются на две части: до нуля и после, причём для обоих частей континуум вариантов и части эти можно выбирать независимо друг от друга. Задание значений функции в какой-то точке фиксирует одну из частей, но для другой части произвол в выборе остаётся.

[Imperator]

Насколько я помню, единственность решения задачи Коши для уравнения $y'=f(x,y)$ ($y(x_{0})=y_{0}$) обеспечивается выполнением условия Липшица для функции $f(x,y)$ по переменной $y$ в некоторой области.

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. (стр. 57)

[Профессор Снэйп]

Imperator писал(а):

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. (стр. 57)

Хотелось бы что-нибудь в электронном виде

Imperator писал(а):

Насколько я помню, единственность решения задачи Коши для уравнения $y'=f(x,y)$ ($y(x_{0})=y_{0}$) обеспечивается выполнением условия Липшица для функции $f(x,y)$ по переменной $y$ в некоторой области.

Условие Липшица --- это какое: $|f(t)-f(s)| \leqslant L |t-s|$ или $$|f(t)-f(s)| \leqslant L |t-s|^\alpha$?

Вообще-то да, в нашем примере липшицевость действительно не выполняется. Хуже того, если записать $y'$ как функцию от $x$ и $y$, то она будет непределённой при $x=0$. Наверное, из-за этого в нуле "ветвления" и происходят.

Но условие, я так понимаю, достаточное, а не необходимое. Например, для диффура $y' = e^{-y}$ липшицевости вроде как нет, а при задании произвольного положительного значение $y(1)$ решение в области $(0,+\infty)$, кажется, единственно. Как в таких случаях определять, имеет задача Коши единственное решение или нет?

[Imperator]

Профессор Снэйп писал(а):

Imperator писал(а):

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. (стр. 57)

Хотелось бы что-нибудь в электронном виде

Imperator писал(а):

Насколько я помню, единственность решения задачи Коши для уравнения $y'=f(x,y)$ ($y(x_{0})=y_{0}$) обеспечивается выполнением условия Липшица для функции $f(x,y)$ по переменной $y$ в некоторой области.

Условие Липшица --- это какое: $|f(t)-f(s)| \leqslant L |t-s|$ или $$|f(t)-f(s)| \leqslant L |t-s|^\alpha$?

Вообще-то да, в нашем примере липшицевость действительно не выполняется. Хуже того, если записать $y'$ как функцию от $x$ и $y$, то она будет непределённой при $x=0$. Наверное, из-за этого в нуле "ветвления" и происходят.

Но условие, я так понимаю, достаточное, а не необходимое. Например, для диффура $y' = e^{-y}$ липшицевости вроде как нет, а при задании произвольного положительного значение $y(1)$ решение в области $(0,+\infty)$, кажется, единственно. Как в таких случаях определять, имеет задача Коши единственное решение или нет?

Один из способов получения электронного варианта книги Степанова:
1) Зайти на сайт:
http://www.poiskknig.ru

2) Написать в увиденном окне слово "степанов"

3) Нажать "ПОИСК"

4) Подождать, пока загрузятся результаты поиска.

5) в графе "Результаты поиска" найти сообщение под номером 8.

6) Нажать "Копия файла", а потом сохранить.

[antbez]

Цитата:

Хуже того, если записать как функцию от и , то она будет непределённой при . Наверное, из-за этого в нуле "ветвления" и происходят.

Но не в -1. Там всё в порядке.

[Профессор Снэйп]

Imperator писал(а):

Один из способов получения электронного варианта книги Степанова:

. . .

5) в графе "Результаты поиска" найти сообщение под номером 8.

. . .

Ой, а я только до семи считать умею Дайте мне ещё тогда ссылку на таблицу умножения и пришлите по почте комплект считальных палочек

Ну а если серьёзно, то сайт http://www.poiskknig.ru был мне неизвестен. Так что спасибо за ссылку.

Добавлено спустя 4 минуты 19 секунд:

antbez писал(а):

Цитата:

Хуже того, если записать как функцию от и , то она будет непределённой при . Наверное, из-за этого в нуле "ветвления" и происходят.

Но не в -1. Там всё в порядке.

Ну, не знаю, что для Вас означает "всё в порядке". Если мы в $-1$ значение функции зададим, то в $+1$ её значение как не было определено, так и останется таким же. Никакого порядка в этом я не вижу.

[serpav]

Не совсем понятно откуда берется множество решений. Для данного ДУ общее решение имеет вид $ y = Ce^{-1/x^2 } $. При $ C=0 $ получим вырожденное решение $ y\equiv 0$ .

[Профессор Снэйп]

serpav писал(а):

Не совсем понятно откуда берется множество решений. Для данного ДУ общее решение имеет вид $ y = Ce^{-1/x^2 } $. При $ C=0 $ получим вырожденное решение $ y\equiv 0$ .

Вот я там выше приводил пример функции

$$ y(x) = \begin{cases} 0, & x \leqslant 0 \\ e^{-1/x^2}, & x > 0 \end{cases} $$

Она дифференцирума в каждой точке бесконечное число раз (при $x \neq 0$ это очевидно, при $x=0$ тот факт, что все производные $y$ в нуле равны нулю проверяется непосредственно из определения производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента).

Кроме того, при $x \leqslant 0$ справедливо $y'(x)=0$ и $x^3 y'(x) - 2y(x) = 0 - 0 = 0$. А если $x > 0$, то $y'(x) = (2/x^3)e^{-1/x^2}$ и $x^3y'(x) - 2y(x) = 2e^{-1/x^2} - 2e^{-1/x^2}$, что опять же равно нулю. Таким образом, для нашей функции равенство $x^3 y'(x) - 2y(x) = 0$ выполняется при любом $x \in \mathbb{R}$, то есть эта функция является решением нашего дифференциального уравнения

[V.V.]

Профессор Снэйп писал(а):

Вообще-то да, в нашем примере липшицевость действительно не выполняется. Хуже того, если записать $y'$ как функцию от $x$ и $y$, то она будет непределённой при $x=0$. Наверное, из-за этого в нуле "ветвления" и происходят.

Именно из-за этого. Нарушается условие непрерывности правой части.

Профессор Снэйп писал(а):

Но условие, я так понимаю, достаточное, а не необходимое. Например, для диффура $y' = e^{-y}$ липшицевости вроде как нет, а при задании произвольного положительного значение $y(1)$ решение в области $(0,+\infty)$, кажется, единственно. Как в таких случаях определять, имеет задача Коши единственное решение или нет?

Теорема Коши-Липшица говорит о существовании решения лишь на основном отрезке. Решение лежит в некотором прямоугольнике на плоскости, поэтому условие Липшица вовсе даже выполнено. Достаточно существования непрерывной первой производной по $y$, как легко видеть из теоремы Лагранжа(?).

А вот с решением на полупрямой всё гораздо хуже. Есть, например, теорема Винтнера о неограниченной продолжаемости (есть в моей книге). Но она тоже дает достаточные условия. Например, для уравнения $y'=x^3-y^3$ условия теоремы Винтнера не выполняются, а неограниченная продолжаемость имеет место.

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Если мы в $-1$ значение функции зададим, то в $+1$ её значение как не было определено, так и останется таким же.

По-моему, единственность решения задачи Коши определяется локально: решение в точке $(x_0,y_0)$ единственно, если для любых двух решений $y=\varphi_1(x)$ и $y=\varphi_2(x)$ существует окрестность точки $x_0$, в которой эти решения совпадают. Поэтому ветвление в точке $0$ никакого отношения к точке $-1$ не имеет.

[Zai]

Функция

$$y(x) =e^{-1/x^2}$$

очень интересная.
Как ее разложить в ряд Тейлора в точке x=0?