Многообразия, гладкие отображения

[greg2]

Помогите разобраться, что такое гладкое отображение.
Вопросы такие:
1) возьмем для начала топологическое пространство со стандартной топологией $\mathbb{R}^n$. Множество $\lbrace c \rbrace x(a_1, b_1)x...x(a_n, b_n)$ является открытым множеством в данном ТП? Получить такое множество с помощью объединений или пересечений можно только с помощью множество подобного же типа, поэтому идти из определения у меня не получается. Дополнительный вопрос: может ли быть непрерывным отображение из топологического пространства $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^n$?

2) непрерывное(в смысле непрерывного отображения ТП) отображение $\psi$ между многообразиями $M$ и $M'$ называется гладким, если $\varphi_2 \circ \psi \circ \varphi_1^{-1}$ для соответствующих карт атласов многообразий гладкая функция. Так вот, рассмотрим "гладкую кривую" $\gamma$, которая отображает на многообразие интервал $(-\varepsilon, \varepsilon)$. Так вот, как судить о гладкости отображения в этом случае, если $\varphi \circ \gamma$ отображение $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$, $n > 1$?

[Brukvalub]

А знаете, почему вам никто не отвечает? Потому, что никто не может понять вот это обозначение:

greg2 в сообщении #972318 писал(а):

...Множество $\lbrace c \rbrace x(a_1, b_1)x...x(a_n, b_n)$ является открытым множеством в данном ТП? ...

Догадаться, что это означает, конечно, можно, но зачем?

[greg2]

декартово произведение. Я сделал правку несколько раз, а когда увидел что там прописная икс, уже было поздно и исправить мне форум уже не дал

[Brukvalub]

Почему вам опять никто не отвечает? Потому, что никто из здесь отвечающих не учится вместе с вами на одном потоке, и поэтому никто из них не знает, какое у вас было на лекциях определение открытого множества. А тянуть из вас, как из партизана, это определение пытками не позволяет кодекс строителя коммунизма.

[Munin]

greg2 в сообщении #972318 писал(а):

Помогите разобраться, что такое гладкое отображение.

Это нечто похожее на гладкую функцию. То есть, обобщение этого понятия, и для примера всегда можно представлять себе гладкую функцию, чтобы понимать, о чём речь. $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ - это гладкий график, гладкая линия. $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ - это гладкая поверхность, рельеф. $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ - это линия в пространстве, как нитка, и тоже гладкая.

[greg2]

Ещё в догонку о гладких отображениях, непонятен момент:
имеется невырожденное отображение $\Phi : U=U^{o} \subset \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^n$, а так же невырожденное отображение
$\Psi : V=V^{o} \subset \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^n$ такое, что $\Psi (V)=\Phi (U)$.
Требуется доказать, что $\Psi^{-1} \circ \Phi$ - гладкое отображение $U \rightarrow V$. Так как отображение $\Psi$ - невырожденное, тогда для каждой точки $v \in V$ существует такой набор k чисел $(i_1, i_2,..., i_k), i_j \in \widehat{n}$, и проекция $\pi$, выделяющая эти элементы отображения, что выполняется $\det(Jac(\pi \circ \Psi)) \neq 0$. Следовательно, отображение обратимо и гладко на некоторой окрестности точки $v$.

Далее, пишется, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)$ - гладкое в точке $u = \Phi^{-1} (\Psi(v))$. С этим я согласен, однако же дальше пишут, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$, а в следствии этого искомое отображение гладкое - этого утверждения я понять не могу. Почему равно и почему из этого следует, что гладкое? $\pi^{-1} \circ \pi = id$ мне кажется некорректным, потому что у проекции не может быть обратного отображения, а тут как будто бы используется именно это...

[svv]

greg2 в сообщении #974937 писал(а):

Так как отображение $\Psi$ - невырожденное, тогда для каждой точки $v \in V$ существует такой набор k чисел $(i_1, i_2,..., i_k), i_j \in \widehat{n}$, и проекция $\pi$, выделяющая эти элементы отображения, что выполняется $\det(Jac(\pi \circ \Psi)) \neq 0$. Следовательно, отображение обратимо и гладко на некоторой окрестности точки $v$.

Иными словами, для некоторой окрестности точки $\Psi(v)$ существует "хорошая" проекция $\pi$, позволяющая по $(\pi\circ \Psi)(v)$ однозначно и гладко восстановить $v$.

[greg2]

Да, это работает для каждой точки, если взять одну какую-то конкретную точку. А почему это работает и на окрестности этой точки, что нам дает право сказать, что сложное отбражение - гладкое на этой окрестности?

[svv]

Если $\Psi$ непрерывно дифференцируемо, то якобиан отображения $\pi\circ\Psi$ будет непрерывной функцией координат точки из $V$ (определитель — непрерывная функция своих элементов). Поэтому если в точке $v\in V$ якобиан отличен от нуля, то и в некоторой её окрестности тоже.

[greg2]

Нет, это понятно, но почему $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)$ гладкое в этой окретности? И почему из этого факта можно утверждать, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$?

[svv]

greg2 в сообщении #974937 писал(а):

дальше пишут, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$, а в следствии этого искомое отображение гладкое - этого утверждения я понять не могу. Почему равно и почему из этого следует, что гладкое? $\pi^{-1} \circ \pi = id$ мне кажется некорректным, потому что у проекции не может быть обратного отображения, а тут как будто бы используется именно это...

Про свойства гладкости ничего не могу сказать, потому что не знаю, какие свойства гладкости даны по условию. Но вот это $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$ понятно. Пусть мы подобрали нужную проекцию $\pi$ для окрестности $v$ (окрестность назовем $M$). Имеем
$M \subset V \subset \mathbb R^k$

$\Psi(M)\subset \Psi(V) \subset \mathbb R^n$

$\pi(\Psi(M))\subset \pi(\Psi(V)) \subset \pi(\mathbb R^n)$

Так вот:
$\bullet$ хотя не существует отображение ("обратная проекция") $\pi^{-1}$ из $\pi(\mathbb R^n)$ в $\mathbb R^n$ при $k<n$,
$\bullet$ и вряд ли существует отображение $\pi^{-1}$ из $\pi(\Psi(V))$ в $\Psi(V)$,
$\bullet$ но прекрасно существует отображение $\pi^{-1}$ из $\pi(\Psi(M))$ в $\Psi(M)$
Неформально выражаясь, ограничение несуществующего отображения $\pi^{-1}$ на $\pi(\Psi(M))$ — уже существует.

А тогда Вы смело пишете для соответствующих областей:
$(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)=\Psi^{-1} \circ \pi^{-1} \circ \pi \circ \Phi = \Psi^{-1} \circ \Phi$