2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многообразия, гладкие отображения
Сообщение01.02.2015, 20:27 


30/11/14
54
Помогите разобраться, что такое гладкое отображение.
Вопросы такие:
1) возьмем для начала топологическое пространство со стандартной топологией $\mathbb{R}^n$. Множество $\lbrace c \rbrace x(a_1, b_1)x...x(a_n, b_n)$ является открытым множеством в данном ТП? Получить такое множество с помощью объединений или пересечений можно только с помощью множество подобного же типа, поэтому идти из определения у меня не получается. Дополнительный вопрос: может ли быть непрерывным отображение из топологического пространства $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^n$?

2) непрерывное(в смысле непрерывного отображения ТП) отображение $\psi$ между многообразиями $M$ и $M'$ называется гладким, если $\varphi_2 \circ \psi \circ \varphi_1^{-1}$ для соответствующих карт атласов многообразий гладкая функция. Так вот, рассмотрим "гладкую кривую" $\gamma$, которая отображает на многообразие интервал $(-\varepsilon, \varepsilon)$. Так вот, как судить о гладкости отображения в этом случае, если $\varphi \circ \gamma$ отображение $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$, $n > 1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение02.02.2015, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13011
Москва
А знаете, почему вам никто не отвечает? Потому, что никто не может понять вот это обозначение:
greg2 в сообщении #972318 писал(а):
...Множество $\lbrace c \rbrace x(a_1, b_1)x...x(a_n, b_n)$ является открытым множеством в данном ТП? ...

Догадаться, что это означает, конечно, можно, но зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение02.02.2015, 18:49 


30/11/14
54
декартово произведение. Я сделал правку несколько раз, а когда увидел что там прописная икс, уже было поздно и исправить мне форум уже не дал :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение02.02.2015, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13011
Москва
Почему вам опять никто не отвечает? Потому, что никто из здесь отвечающих не учится вместе с вами на одном потоке, и поэтому никто из них не знает, какое у вас было на лекциях определение открытого множества. А тянуть из вас, как из партизана, это определение пытками не позволяет кодекс строителя коммунизма. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение02.02.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
greg2 в сообщении #972318 писал(а):
Помогите разобраться, что такое гладкое отображение.

Это нечто похожее на гладкую функцию. То есть, обобщение этого понятия, и для примера всегда можно представлять себе гладкую функцию, чтобы понимать, о чём речь. $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ - это гладкий график, гладкая линия. $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ - это гладкая поверхность, рельеф. $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ - это линия в пространстве, как нитка, и тоже гладкая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение07.02.2015, 11:41 


30/11/14
54
Ещё в догонку о гладких отображениях, непонятен момент:
имеется невырожденное отображение $\Phi : U=U^{o} \subset \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^n$, а так же невырожденное отображение
$\Psi : V=V^{o} \subset \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^n$ такое, что $\Psi (V)=\Phi (U)$.
Требуется доказать, что $\Psi^{-1} \circ \Phi$ - гладкое отображение $U \rightarrow V$. Так как отображение $\Psi$ - невырожденное, тогда для каждой точки $v \in V$ существует такой набор k чисел $(i_1, i_2,..., i_k), i_j \in \widehat{n}$, и проекция $\pi$, выделяющая эти элементы отображения, что выполняется $\det(Jac(\pi \circ \Psi)) \neq 0$. Следовательно, отображение обратимо и гладко на некоторой окрестности точки $v$.

Далее, пишется, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)$ - гладкое в точке $u = \Phi^{-1} (\Psi(v))$. С этим я согласен, однако же дальше пишут, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$, а в следствии этого искомое отображение гладкое - этого утверждения я понять не могу. Почему равно и почему из этого следует, что гладкое? $\pi^{-1} \circ \pi = id$ мне кажется некорректным, потому что у проекции не может быть обратного отображения, а тут как будто бы используется именно это...

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение10.02.2015, 10:48 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
greg2 в сообщении #974937 писал(а):
Так как отображение $\Psi$ - невырожденное, тогда для каждой точки $v \in V$ существует такой набор k чисел $(i_1, i_2,..., i_k), i_j \in \widehat{n}$, и проекция $\pi$, выделяющая эти элементы отображения, что выполняется $\det(Jac(\pi \circ \Psi)) \neq 0$. Следовательно, отображение обратимо и гладко на некоторой окрестности точки $v$.
Иными словами, для некоторой окрестности точки $\Psi(v)$ существует "хорошая" проекция $\pi$, позволяющая по $(\pi\circ \Psi)(v)$ однозначно и гладко восстановить $v$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение10.02.2015, 19:19 


30/11/14
54
Да, это работает для каждой точки, если взять одну какую-то конкретную точку. А почему это работает и на окрестности этой точки, что нам дает право сказать, что сложное отбражение - гладкое на этой окрестности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение10.02.2015, 21:40 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Если $\Psi$ непрерывно дифференцируемо, то якобиан отображения $\pi\circ\Psi$ будет непрерывной функцией координат точки из $V$ (определитель — непрерывная функция своих элементов). Поэтому если в точке $v\in V$ якобиан отличен от нуля, то и в некоторой её окрестности тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение10.02.2015, 21:47 


30/11/14
54
Нет, это понятно, но почему $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)$ гладкое в этой окретности? И почему из этого факта можно утверждать, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия, гладкие отображения
Сообщение10.02.2015, 22:43 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
greg2 в сообщении #974937 писал(а):
дальше пишут, что $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$, а в следствии этого искомое отображение гладкое - этого утверждения я понять не могу. Почему равно и почему из этого следует, что гладкое? $\pi^{-1} \circ \pi = id$ мне кажется некорректным, потому что у проекции не может быть обратного отображения, а тут как будто бы используется именно это...
Про свойства гладкости ничего не могу сказать, потому что не знаю, какие свойства гладкости даны по условию. Но вот это $(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)= \Psi^{-1} \circ \Phi$ понятно. Пусть мы подобрали нужную проекцию $\pi$ для окрестности $v$ (окрестность назовем $M$). Имеем
$M \subset V \subset \mathbb R^k$

$\Psi(M)\subset \Psi(V) \subset \mathbb R^n$

$\pi(\Psi(M))\subset \pi(\Psi(V)) \subset \pi(\mathbb R^n)$

Так вот:
$\bullet$ хотя не существует отображение ("обратная проекция") $\pi^{-1}$ из $\pi(\mathbb R^n)$ в $\mathbb R^n$ при $k<n$,
$\bullet$ и вряд ли существует отображение $\pi^{-1}$ из $\pi(\Psi(V))$ в $\Psi(V)$,
$\bullet$ но прекрасно существует отображение $\pi^{-1}$ из $\pi(\Psi(M))$ в $\Psi(M)$
Неформально выражаясь, ограничение несуществующего отображения $\pi^{-1}$ на $\pi(\Psi(M))$ — уже существует.

А тогда Вы смело пишете для соответствующих областей:
$(\pi \circ \Psi)^{-1} \circ (\pi \circ \Phi)=\Psi^{-1} \circ \pi^{-1} \circ \pi \circ \Phi = \Psi^{-1} \circ \Phi$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group