Колебание лодки

[lantza]

В жидкости плотности $\rho$ плавает лодка, которая имеет форму параллелепипеда высотой $H$ и площадью дна $S$. Средняя плотность лодки равна $\rho/2$. С лодки скидывают груз таким образом, что её средняя плотность становится $\rho/3$ и в начальный момент её скорость равна нулю. Определите амплитуду и частоту колебаний лодки.

Прошу проверить мое решение.

$1)$ (До выброса груза.) Пусть лодка погружена в воду на высоту $h_0$. Рассмотрим силы, действующие на покоящуюся лодку. Это архимедова сила $\vec{F_a}$ и сила тяжести $m\vec{g}$, направленные в противоположных сторонах. По второму закону Ньютона на проекциях вдоль вертикали

$$F_a-mg=0, \qquad\qquad [1]$$

где $F_a=V_{0} \rho g=Sh_0 g$, а $m=V\dfrac{\rho}{2}=SH\dfrac{\rho}{2}$. Подставляя полученные выражения $[1]$, получим $h_0=\dfrac{H}{2}$

$2)$ (После выброса груза.)

Рассмотрим силы, действующие на лодку. Пусть в некоторый момент времени она погружена в воду на высоту $x$, ускорение направлено вниз. Тогда второй закон Ньютона запишется в проекциях на ось игрек (см. рисунок) так:

$$-F_a+mg=ma \qquad\qquad [2]$$

Аналогично первому пункту, имеем $F_a=V_{0} \rho g=Sx\rho g$ и $m=V\dfrac{\rho}{3}=SH\dfrac{\rho}{3}$. Подставляем в $[2]$, получаем

$$-Sx\rho g+SH\dfrac{\rho}{3}g=SH\dfrac{\rho}{3}a$$

$$-\dfrac{3g}{H}x+g=a$$

$$\ddot{x}=-\dfrac{3g}{H}x+g$$

Дальше у меня появились сомнения. В учебниках 11 класса по физике (я еще школьник) дается решение дифференциального уравнения $\ddot{x}=-\omega^2x$, но никак не $\ddot{x}=-\omega^2x+C$. (Кстати, хотелось бы узнать, как полностью называется такое уравнение по классификации.)
Ну, ладно, выносим за скобки омегу:

$$\ddot{x}=-\dfrac{3g}{H}(x-\dfrac{H}{3})$$

Введем замену $y=x-\dfrac{H}{3}$. Заметим, что $\ddot{y}=\ddot{x}=a$ (ибо у игрек только прибавилась константа). Тогда дифференциальное уравнение запишется так:

$$\ddot{y}=-\dfrac{3g}{H}y$$

Откуда

$$y=A\cos\omega t+B\sin\omega t$$

Или, возвращаясь к переменной x

$$x=A\cos\omega t+B\sin\omega t+\dfrac{H}{3}, \qquad \omega=\sqrt{\dfrac{3g}{H}}$$

Воспользуемся начальным условием в задаче: $\dot{x}(0)=0$$. Из первой производной по времени вытекает, что $B=0$:

$$x=A\cos\omega t+\dfrac{H}{3}$$

Значит, можно найти амплитуду, используя еще одно начальное условие $x(0)=h_0$:

$$\dfrac{H}{2}=A+\dfrac{H}{3}$$

$$A=\dfrac{H}{6}$$

Частота же равна $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{H}}.

[amon]

lantza в сообщении #972302 писал(а):

Прошу проверить мое решение.

Ответ, по-моему правильный, но использованный аппарат абсолютно избыточен. Амплитуда мгновенно получается путем вычитания одной трети из одной второй, а частота находится из того, что если сила равна $f=-k\Delta x$, то $\omega^2=k/m$. После этого решение занимает две строчки.

[lantza]

amon в сообщении #972343 писал(а):

$f=-k\Delta x$, то $\omega^2=k/m$

Но уравнение выглядит не так, как вы написали, а вот так: $f=-k\Delta x+C$, из-за чего у меня и возникли трудности в этой задаче.

amon в сообщении #972343 писал(а):

Амплитуда мгновенно получается путем вычитания одной трети из одной второй

А из каких соображений вы это нашли? До сих пор, пока я не написал все выкладки, в голову мне совершенно не приходило так делать.

[Skeptic]

Задачу можно свести к колебанию груза на пружине, т.к. глубина погружения лодки в воду пропорциональна её весу.

[Padawan]

Надо было сразу за $x$ принимать смещение лодки от положения равновесия (при отсутствии груза) и составлять уравнения колебаний относительно этого положения равновесия. А начальные условия (то есть смещение нагруженной лодки по сравнению с ненагруженной) влияют только на амплитуду колебаний, но не на частоту. Амплитуда же колебаний равна смещению лодки от положения равновесия в тот момент, когда скорость равна нулю. То есть как раз равна первоначальному смещению лодки.

[DimaM]

amon в сообщении #972343 писал(а):

Амплитуда мгновенно получается путем вычитания одной трети из одной второй, а частота находится из того, что если сила равна $f=-k\Delta x$, то $\omega^2=k/m$. После этого решение занимает две строчки.

"Любая сложная задача имеет простое, легкое для понимания неправильное решение."
То есть составители задачи наверняка имели в виду именно то, что вы пишете, но на деле движение лодки вызывает движение воды (так называемая присоединенная масса), поэтому частота будет другой.

[Skeptic]

Погруженный в воду объём плавающего параллепипеда пропорционален его плотности. При изменении плотности параллепипед всплывёт на разность плотностей. Это будет амплитуда колебаний.

[lantza]

Padawan в сообщении #972445 писал(а):

Надо было сразу за $x$ принимать смещение лодки от положения равновесия (при отсутствии груза) и составлять уравнения колебаний относительно этого положения равновесия. А начальные условия (то есть смещение нагруженной лодки по сравнению с ненагруженной) влияют только на амплитуду колебаний, но не на частоту. Амплитуда же колебаний равна смещению лодки от положения равновесия в тот момент, когда скорость равна нулю. То есть как раз равна первоначальному смещению лодки.

Да, сейчас так и сделал, лишняя константа убралась. Частота, как и следовалось ожидать, одна и та же.
Про амплитуду ясно, спасибо.

Skeptic в сообщении #972548 писал(а):

Погруженный в воду объём плавающего параллепипеда пропорционален его плотности. При изменении плотности параллепипед всплывёт на разность плотностей. Это будет амплитуда колебаний.

Хорошо, спасибо.

[amon]

DimaM в сообщении #972448 писал(а):

на деле движение лодки вызывает движение воды

А это, наверно, можно прикинуть в модели, когда жидкость идеальная, а параллелепипед бесконечный. Тогда задача становится двумерной, и все должно решиться.

[DimaM]

amon в сообщении #972591 писал(а):

А это, наверно, можно прикинуть в модели, когда жидкость идеальная, а параллелепипед бесконечный. Тогда задача становится двумерной, и все должно решиться.

С лодкой вообще плохо: она частично погружена, значит, при колебаниях будет генерировать волны на поверхности. Эти волны, в частности, будут уносить энергию, приводя к затуханию колебаний.

[amon]

DimaM в сообщении #972593 писал(а):

будут уносить энергию

Для идеальной жидкости может и не будут. Там кроме расходящейся еще сходящаяся волна будет. В общем, решить надо. Если решится - будет еще одна засада для аспирантов. Спасибо за задачку!

-- 02.02.2015, 18:03 --

А в формулировке исходной задачи есть еще дырка, связанная с устойчивостью плавания бревна на нижней грани параллелепипеда (зависит от соотношения длин граней).

[druggist]

DimaM в сообщении #972448 писал(а):

То есть составители задачи наверняка имели в виду именно то, что вы пишете, но на деле движение лодки вызывает движение воды (так называемая присоединенная масса), поэтому частота будет другой.

И как оценить поправку к частоте, насколько она будет существенна для сухой воды(ид. жидкости)?

[DimaM]

druggist в сообщении #972611 писал(а):

И как оценить поправку к частоте, насколько она будет существенна для сухой воды(ид. жидкости)?

Присоединенная масса порядка объема [погруженной части] на плотность жидкости. Для тел "обычной" формы.
Скажем, для полностью погруженного шара коэффициент половинка.

Что там появится за счет волн, не могу сказать.

[druggist]

DimaM в сообщении #972613 писал(а):

Что там появится за счет волн, не могу сказать.

На счет волн, мне кажется, это важный момент. Допустим, у нас предмет плавает в ограниченном кол-ве жидкости, сравнимым с объемом, вытесненным предметом. Тогда, очевидно, при колебаниях предмета будет меняться уровень жидкости и будут колебания жидкости с одинаковыми частотами. Если объем жидкости бесконечен, то при колебаниях предмета, когда он движется вниз и вытесняет под собой воду, она должна образовывать пучность вокруг предмета(создавая условие для колебания прилежащего объема жидкости). Но если групповая скорость волн на пов-ти воды достаточно большая, то эти пучности быстро рассасываются и колебания соседних с предметом объемов жидкостей по-видимому не должно происходить.Т.е., возможно при низких частотах колебаний "присоединенная масса" отсутствует

[Munin]

druggist
Волны и присоединённая масса - вещи разные.