2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Колебание лодки
Сообщение01.02.2015, 19:36 


15/11/14
122
В жидкости плотности $\rho$ плавает лодка, которая имеет форму параллелепипеда высотой $H$ и площадью дна $S$. Средняя плотность лодки равна $\rho/2$. С лодки скидывают груз таким образом, что её средняя плотность становится $\rho/3$ и в начальный момент её скорость равна нулю. Определите амплитуду и частоту колебаний лодки.

Прошу проверить мое решение.

$1)$ (До выброса груза.) Пусть лодка погружена в воду на высоту $h_0$. Рассмотрим силы, действующие на покоящуюся лодку. Это архимедова сила $\vec{F_a}$ и сила тяжести $m\vec{g}$, направленные в противоположных сторонах. По второму закону Ньютона на проекциях вдоль вертикали
$$F_a-mg=0, \qquad\qquad [1]$$
где $F_a=V_{0} \rho g=Sh_0 g$, а $m=V\dfrac{\rho}{2}=SH\dfrac{\rho}{2}$. Подставляя полученные выражения $[1]$, получим $h_0=\dfrac{H}{2}$

$2)$ (После выброса груза.)
Изображение


Рассмотрим силы, действующие на лодку. Пусть в некоторый момент времени она погружена в воду на высоту $x$, ускорение направлено вниз. Тогда второй закон Ньютона запишется в проекциях на ось игрек (см. рисунок) так:
$$-F_a+mg=ma \qquad\qquad [2]$$
Аналогично первому пункту, имеем $F_a=V_{0} \rho g=Sx\rho g$ и $m=V\dfrac{\rho}{3}=SH\dfrac{\rho}{3}$. Подставляем в $[2]$, получаем
$$-Sx\rho g+SH\dfrac{\rho}{3}g=SH\dfrac{\rho}{3}a$$
$$-\dfrac{3g}{H}x+g=a$$
$$\ddot{x}=-\dfrac{3g}{H}x+g$$

Дальше у меня появились сомнения. В учебниках 11 класса по физике (я еще школьник) дается решение дифференциального уравнения $\ddot{x}=-\omega^2x$, но никак не $\ddot{x}=-\omega^2x+C$. (Кстати, хотелось бы узнать, как полностью называется такое уравнение по классификации.)
Ну, ладно, выносим за скобки омегу:
$$\ddot{x}=-\dfrac{3g}{H}(x-\dfrac{H}{3})$$
Введем замену $y=x-\dfrac{H}{3}$. Заметим, что $\ddot{y}=\ddot{x}=a$ (ибо у игрек только прибавилась константа). Тогда дифференциальное уравнение запишется так:
$$\ddot{y}=-\dfrac{3g}{H}y$$
Откуда
$$y=A\cos\omega t+B\sin\omega t$$
Или, возвращаясь к переменной x
$$x=A\cos\omega t+B\sin\omega t+\dfrac{H}{3}, \qquad \omega=\sqrt{\dfrac{3g}{H}}$$

Воспользуемся начальным условием в задаче: $\dot{x}(0)=0$$. Из первой производной по времени вытекает, что $B=0$:
$$x=A\cos\omega t+\dfrac{H}{3}$$
Значит, можно найти амплитуду, используя еще одно начальное условие $x(0)=h_0$:
$$\dfrac{H}{2}=A+\dfrac{H}{3}$$
$$A=\dfrac{H}{6}$$

Частота же равна $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{H}}.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение01.02.2015, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
lantza в сообщении #972302 писал(а):
Прошу проверить мое решение.

Ответ, по-моему правильный, но использованный аппарат абсолютно избыточен. Амплитуда мгновенно получается путем вычитания одной трети из одной второй, а частота находится из того, что если сила равна $f=-k\Delta x$, то $\omega^2=k/m$. После этого решение занимает две строчки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 06:32 


15/11/14
122
amon в сообщении #972343 писал(а):
$f=-k\Delta x$, то $\omega^2=k/m$

Но уравнение выглядит не так, как вы написали, а вот так: $f=-k\Delta x+C$, из-за чего у меня и возникли трудности в этой задаче.

amon в сообщении #972343 писал(а):
Амплитуда мгновенно получается путем вычитания одной трети из одной второй

А из каких соображений вы это нашли? До сих пор, пока я не написал все выкладки, в голову мне совершенно не приходило так делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 09:11 


01/12/11

1047
Задачу можно свести к колебанию груза на пружине, т.к. глубина погружения лодки в воду пропорциональна её весу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 10:11 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Надо было сразу за $x$ принимать смещение лодки от положения равновесия (при отсутствии груза) и составлять уравнения колебаний относительно этого положения равновесия. А начальные условия (то есть смещение нагруженной лодки по сравнению с ненагруженной) влияют только на амплитуду колебаний, но не на частоту. Амплитуда же колебаний равна смещению лодки от положения равновесия в тот момент, когда скорость равна нулю. То есть как раз равна первоначальному смещению лодки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 10:24 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
amon в сообщении #972343 писал(а):
Амплитуда мгновенно получается путем вычитания одной трети из одной второй, а частота находится из того, что если сила равна $f=-k\Delta x$, то $\omega^2=k/m$. После этого решение занимает две строчки.

"Любая сложная задача имеет простое, легкое для понимания неправильное решение."
То есть составители задачи наверняка имели в виду именно то, что вы пишете, но на деле движение лодки вызывает движение воды (так называемая присоединенная масса), поэтому частота будет другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 16:03 


01/12/11

1047
Погруженный в воду объём плавающего параллепипеда пропорционален его плотности. При изменении плотности параллепипед всплывёт на разность плотностей. Это будет амплитуда колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 17:13 


15/11/14
122
Padawan в сообщении #972445 писал(а):
Надо было сразу за $x$ принимать смещение лодки от положения равновесия (при отсутствии груза) и составлять уравнения колебаний относительно этого положения равновесия. А начальные условия (то есть смещение нагруженной лодки по сравнению с ненагруженной) влияют только на амплитуду колебаний, но не на частоту. Амплитуда же колебаний равна смещению лодки от положения равновесия в тот момент, когда скорость равна нулю. То есть как раз равна первоначальному смещению лодки.

Да, сейчас так и сделал, лишняя константа убралась. Частота, как и следовалось ожидать, одна и та же.
Про амплитуду ясно, спасибо.
Skeptic в сообщении #972548 писал(а):
Погруженный в воду объём плавающего параллепипеда пропорционален его плотности. При изменении плотности параллепипед всплывёт на разность плотностей. Это будет амплитуда колебаний.

Хорошо, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
DimaM в сообщении #972448 писал(а):
на деле движение лодки вызывает движение воды

А это, наверно, можно прикинуть в модели, когда жидкость идеальная, а параллелепипед бесконечный. Тогда задача становится двумерной, и все должно решиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 17:41 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
amon в сообщении #972591 писал(а):
А это, наверно, можно прикинуть в модели, когда жидкость идеальная, а параллелепипед бесконечный. Тогда задача становится двумерной, и все должно решиться.

С лодкой вообще плохо: она частично погружена, значит, при колебаниях будет генерировать волны на поверхности. Эти волны, в частности, будут уносить энергию, приводя к затуханию колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5233
ФТИ им. Иоффе СПб
DimaM в сообщении #972593 писал(а):
будут уносить энергию

Для идеальной жидкости может и не будут. Там кроме расходящейся еще сходящаяся волна будет. В общем, решить надо. Если решится - будет еще одна засада для аспирантов. Спасибо за задачку!

-- 02.02.2015, 18:03 --

А в формулировке исходной задачи есть еще дырка, связанная с устойчивостью плавания бревна на нижней грани параллелепипеда (зависит от соотношения длин граней).

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 18:38 


27/02/09
2835
DimaM в сообщении #972448 писал(а):
То есть составители задачи наверняка имели в виду именно то, что вы пишете, но на деле движение лодки вызывает движение воды (так называемая присоединенная масса), поэтому частота будет другой.

И как оценить поправку к частоте, насколько она будет существенна для сухой воды(ид. жидкости)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение02.02.2015, 18:48 
Заслуженный участник


28/12/12
7911
druggist в сообщении #972611 писал(а):
И как оценить поправку к частоте, насколько она будет существенна для сухой воды(ид. жидкости)?

Присоединенная масса порядка объема [погруженной части] на плотность жидкости. Для тел "обычной" формы.
Скажем, для полностью погруженного шара коэффициент половинка.

Что там появится за счет волн, не могу сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение03.02.2015, 09:30 


27/02/09
2835
DimaM в сообщении #972613 писал(а):
Что там появится за счет волн, не могу сказать.

На счет волн, мне кажется, это важный момент. Допустим, у нас предмет плавает в ограниченном кол-ве жидкости, сравнимым с объемом, вытесненным предметом. Тогда, очевидно, при колебаниях предмета будет меняться уровень жидкости и будут колебания жидкости с одинаковыми частотами. Если объем жидкости бесконечен, то при колебаниях предмета, когда он движется вниз и вытесняет под собой воду, она должна образовывать пучность вокруг предмета(создавая условие для колебания прилежащего объема жидкости). Но если групповая скорость волн на пов-ти воды достаточно большая, то эти пучности быстро рассасываются и колебания соседних с предметом объемов жидкостей по-видимому не должно происходить.Т.е., возможно при низких частотах колебаний "присоединенная масса" отсутствует

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебание лодки
Сообщение03.02.2015, 16:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
druggist
Волны и присоединённая масса - вещи разные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group