В жидкости плотности
плавает лодка, которая имеет форму параллелепипеда высотой
и площадью дна
. Средняя плотность лодки равна
. С лодки скидывают груз таким образом, что её средняя плотность становится
и в начальный момент её скорость равна нулю. Определите амплитуду и частоту колебаний лодки.
Прошу проверить мое решение.
(До выброса груза.) Пусть лодка погружена в воду на высоту
. Рассмотрим силы, действующие на покоящуюся лодку. Это архимедова сила
и сила тяжести
, направленные в противоположных сторонах. По второму закону Ньютона на проекциях вдоль вертикали
где
, а
. Подставляя полученные выражения
, получим
(После выброса груза.)
Рассмотрим силы, действующие на лодку. Пусть в некоторый момент времени она погружена в воду на высоту
, ускорение направлено вниз. Тогда второй закон Ньютона запишется в проекциях на ось игрек (см. рисунок) так:
Аналогично первому пункту, имеем
и
. Подставляем в
, получаем
Дальше у меня появились сомнения. В учебниках 11 класса по физике (я еще школьник) дается решение дифференциального уравнения
, но никак не
. (Кстати, хотелось бы узнать, как полностью называется такое уравнение по классификации.)
Ну, ладно, выносим за скобки омегу:
Введем замену
. Заметим, что
(ибо у игрек только прибавилась константа). Тогда дифференциальное уравнение запишется так:
Откуда
Или, возвращаясь к переменной x
Воспользуемся начальным условием в задаче:
. Из первой производной по времени вытекает, что
:
Значит, можно найти амплитуду, используя еще одно начальное условие
:
Частота же равна
.