Лагранжиан гравитации

[Sicker]

В лагранжиане для гравитации отсутствует член описывающий взаимодействие материи и пространства-времени, это как то странно. И когда мы варьируем действие для материи по метрическому тензору, непонятно, ведь лагранжиан для материи не только от метрического тензора зависит

[Munin]

Sicker в сообщении #972033 писал(а):

В лагранжиане для гравитации отсутствует член описывающий взаимодействие материи и пространства-времени, это как то странно.

Нет, не отсутствует. Он скрыт в члене материи. Это типично для всех калибровочных теорий.

Sicker в сообщении #972033 писал(а):

И когда мы варьируем действие для материи по метрическому тензору, непонятно, ведь лагранжиан для материи не только от метрического тензора зависит

Всё правильно. Один и тот же член варьируем по одному - получаем одно уравнение, варьируем по другому - получаем другое. Переберём все степени свободы - получим полную систему динамических уравнений.

По сути, здесь член материи весь целиком выступает как член взаимодействия.

[Sicker]

ааа, ясно
а электродинамика ведь калибровочная теория?(просто там есть член взаимодействия)

[warlock66613]

Sicker, да и в гравитации этот член есть, просто "скрыт", но вы можете даже попробовать самостоятельно его явно вытащить. (В электродинамике я точно знаю, что он легко "прячется" и "вытаскивается", а в ОТО - не знаю, не делал.) "Сидит" это член в ковариантных производных, так что, чтобы его достать, надо начать с расписывания ковариантных производных в материальном члене через обычные.

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #972045 писал(а):

В электродинамике я точно знаю, что он легко "прячется" и "вытаскивается",

но он там не прячется, он в открытую третьим членом отдельно и сидит

[warlock66613]

Sicker в сообщении #972048 писал(а):

но он там не прячется, он в открытую третьим членом отдельно и сидит

А можно и спрятать.

[Sicker]

warlock66613 в сообщении #972045 писал(а):

"Сидит" это член в ковариантных производных, так что, чтобы его достать, надо начать с расписывания ковариантных производных в материальном члене через обычные.

ну да, ведь пространство-время это поле для существование энергии импульса, и получается что изменяя пространство-время, мы изменяем и лагранжиан материи

-- 31.01.2015, 23:26 --

warlock66613 в сообщении #972050 писал(а):

А можно и спрятать.

а как?

-- 31.01.2015, 23:32 --

Я слышал что можно гравитацию рассматривать как тензорное поле на плоском пространстве-времени, а как же то что она влияет на течение времени?

[warlock66613]

Sicker в сообщении #972051 писал(а):

а как?

Ну, прятать конечно сложнее, чем наоборот (разлагать на множители сложнее, чем раскрывать скобки). Поэтому, я бы предложил действовать обратным путём - начать с того, что в материальном члене заменить производные $\partial_{\mu}$ на "электромагнитно-ковариантные" $\partial_{\mu} - iA_{\mu}$, а затем выделять лишнее, чтобы вернуть этот член к его прежнему виду - а то, что выделится сравнить с третьим членом. Дальше по ситуации. И было бы хорошо, если бы вы написали здесь исходный лагранжиан с тремя членами. И конечно надо использовать четырёхмерные обозначения, и удобную систему единиц ($c = 1$ и т. п.).

[Munin]

Sicker в сообщении #972042 писал(а):

а электродинамика ведь калибровочная теория?(просто там есть член взаимодействия)

Да, электродинамика - калибровочная теория. Да, там есть член взаимодействия. И он точно так же "прячется" в член источника.

Лагранжиан свободного фермионного поля:

$$\bar{\psi}i\gamma^\mu\partial_\mu\psi-m\bar{\psi}\psi,$$

лагранжиан в присутствии калибровочного поля:

$$\bar{\psi}i\gamma^\mu D_\mu\psi-m\bar{\psi}\psi\quad=\quad\bar{\psi}i\gamma^\mu(\partial_\mu-ieA_\mu)\psi-m\bar{\psi}\psi$$

распадается на собственный член и член взаимодействия:

$$\ldots=\bar{\psi}i\gamma^\mu\partial_\mu\psi-m\bar{\psi}\psi\quad+\quad e\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu\psi.$$

Аналогично и в гравитации. Все производные в лагранжиане материи $\partial_\mu$ заменяются на ковариантные $D_\mu,$ которые распадаются на слагаемые с $\partial_\mu$ и на слагаемые с коэффициентами аффинной связности $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ в нужных комбинациях в зависимости от тензора под производной. (Кстати, напоминаю, что $A_\mu$ в электродинамике тоже связность - связность на расслоении.) Вот эти слагаемые с $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ и являются членом взаимодействия.

-- 01.02.2015 00:31:17 --

warlock66613 в сообщении #972045 писал(а):

(В электродинамике я точно знаю, что он легко "прячется" и "вытаскивается", а в ОТО - не знаю, не делал.)

В учебниках по ОТО обычно говорится просто про какой-то лагранжиан материи, а чтобы с этим поупражняться, надо задать какой-то конкретный. Можно взять для примера:
- массивные классические частицы;
- электромагнитное поле свободное и с классическими зарядами;
- фермионы - правда, тут придётся работать со спиновой связностью, с которой я работать не умею, и в обычных учебниках ОТО не написано;
- какое-нибудь ещё классическое поле целого тензорного ранга: скалярное, массивное векторное, взаимодействующие поля.

Sicker в сообщении #972051 писал(а):

а как?

Рубаков. Классические калибровочные поля.
Перед чтением обязательно перечитать ЛЛ-2 §§ 18, 27, 51, 52. Потом ещё §§ 29, 32.

Sicker в сообщении #972051 писал(а):

Я слышал что можно гравитацию рассматривать как тензорное поле на плоском пространстве-времени, а как же то что она влияет на течение времени?

Вот так и влияет, через ковариантные производные. Любые часы работают по физическим законам, в которые входят производные по $x^0,$ и эти производные заменяются на ковариантные, и начинают "чувствовать" метрику вдоль этой координаты.

warlock66613 в сообщении #972055 писал(а):

Ну, прятать конечно сложнее, чем наоборот (разлагать на множители сложнее, чем раскрывать скобки).

Не только сложнее, но и не всегда возможно. Когда возможно, мы называем теорию калибровочной теорией. А когда невозможно - то просто теорией со взаимодействием.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #972066 писал(а):

Вот эти слагаемые с $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ и являются членом взаимодействия.

Ну, как бы, не связностью единой...

Действие "некоторой материи" должно быть представлено интегралом по пространству-времени:

$$S_{\text{some matter}} = \int \ldots \sqrt{g} \, d_4 x \eqno(1)$$

Так вот множитель $\sqrt{g}$ уже гарантирует взаимодействие этой "некоторой материи" с гравитацией.

[Munin]

Да. Можно и так. Когда мы пишем действие, можно использовать $\sqrt{|g|}$ (в зависимости от соглашения о знаках это либо $\sqrt{g},$ либо $\sqrt{-g}$). А когда пишем уравнения движения, то используем связность. Важно понимать, что это одно и то же, и одно переходит в другое. А не какие-то дополняющие друг друга вещи.