Сизиф

[dovlato]

Со временем титану надоело катать свой камень на одну и ту же гору.
Смилостивившиеся боги позволили ему саму назначать начальный и конечный путь А и В своего моциона, но - тем не менее, по
горам и холмам, пусть даже и гладким, и не особо крутым. Так что, пока доберёшься до пункта назначения, возможно, не раз поднимешься и спустишься.
Но вот теперь Сизифу пришлось думать.. Как для уже заданных А и В, и зная весь окрестный горный рельеф, проложить такой маршрут,
для которого работа против сил сухого трения были бы минимальна. Волей всеблагих богов, коэффициент трения k=const по любому маршруту.
И ведь нашёл!

[Oleg Zubelevich]

Значит поверхность (холмы и горы то есть) у нас задана своим радиус-вектором $\overline r(x^1,x^2)\in\mathbb{R}^3$; $x^1,x^2$ -- локальные координаты на поверхности, они же обобщенные координаты камня.
На камень действует сила

$$\overline F=-km|(\overline g,\overline n)|\frac{\dot {\overline r}}{|\dot {\overline r}|}+\overline N+m\overline g\qquad (*)$$

где $\overline n=[\overline r_{x^1},\overline r_{x^2}]/|[\overline r_{x^1},\overline r_{x^2}]|$ -- единичная нормаль к поверхности; $\overline N$ -- нормальная реакция поерхности.
Соответствующая обобщенная сила:

$$Q_i=\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline F\Big);$$

мы ищем экстремум функционала работы:

$$\int_A^BQ_idx^i=-km\int_A^B|(\overline g,\overline n)|ds+m\int_A^B\Big(\frac{\partial \overline r}{\partial x^i},\overline g\Big)dx^i$$

($s$ -- натуральный параметр на кривой)
Последнее слагаемое пропорционально высоте между точками $A$ и $B$, значит оно не зависит от кривой, и поэтому оно из задачи выбрасывается, и так мы минимизируем функционал

$$\int_A^B|(\overline g,\overline n)|ds$$

а лучше переписать так

$$\int_{t_A}^{t_B}|(\overline g,\overline n)|\sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j}dt$$

$g_{ij}$ -- метрический тензор (первая квадратичная форма поверхности).

Таким образом наш Сизиф ищет геодезическую метрики $\tilde g_{ij}=(\overline g,\overline n)^2g_{ij}$, ну и если на этой поверхности нет вертикальных обрывов т.е. метрика невырождена, то он, по известным теоремам, эту геодезическую находит.
Задача красивая и наверняка классическая

[Red_Herring]

Боги ему ещё по блату шарообразный камень дали—иначе при качении в произвольном направлении центр тяжести двигался бы вверх-вниз.

[dovlato]

Я должен просить прощения у коллег. Как оказалось, мне, ничтожному смертному, доступны к пониманию оказались
лишь объяснения титана о наиболее простых случаях поверхностей:
1. Наклонная плоскость. Нужно втащить камень на плоскую гору, поднявшись на заданную высоту $h$,
если известны обе горизонтальные координаты точек А и В. То есть известны относительные их горизонтальные смещения, одно из которых
- вдоль линии пересечения наклонной плоскости и плоской Земли, а другое перпендикулярно ему.
2. Коническая гора с заданным углом раствора у вершины, при известных цилиндрических координатах А и В.
3. Титан доказал две занятные теоремы. Первая из них - для случая, когда сначала приходится тащить камень по одной плоской поверхности,
а затем происходит переход на другую, уже с другим углом наклона. Причём он обобщил её на случай, когда высота любой точки зависит
только от одной её горизонтальной координаты, расположенной вдоль фиксированного направления.
А другая теорема повествует о странноватой горе, поверхность которой волей богов сотворёна как поверхность вращения относительно её вертикальной оси.
Мне они показались занятными, ибо и с той и с другой я уже встречался но совсем в другой области - в радиолокации, где в лучевом приближении
исследовалась форма луча при прохождении ионосферы с коэффициентом преломления, зависящим только от высоты.
Обе они - следствия принципа пресветлого Ферма.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #972444 писал(а):

А другая теорема повествует о странноватой горе, поверхность которой волей богов сотворёна как поверхность вращения относительно её вертикальной оси.

Естественно, там должна быть версия теоремы Клеро о геодезических.



Арнольд, Мат. методы:

[Munin]

Red_Herring в сообщении #972418 писал(а):

Боги ему ещё по блату шарообразный камень дали—иначе при качении в произвольном направлении центр тяжести двигался бы вверх-вниз.

Скорей всего вообще точечный, иначе при перекатывании с плоскости на плоскость всё было бы непросто.

dovlato в сообщении #972444 писал(а):

Обе они - следствия принципа пресветлого Ферма.

Ничего удивительного. Oleg Zubelevich объяснил почему:

Oleg Zubelevich в сообщении #972412 писал(а):

Таким образом наш Сизиф ищет геодезическую метрики $\tilde g_{ij}=(\overline g,\overline n)^2g_{ij}$

Если ввести на поверхности в качестве локальных координат горизонтальные координаты $(x,y),$ так что поверхность будет задана функцией $z(x,y),$ то:

$$(\overline{g},\overline{n})=g\cos\arctg\left|\operatorname{grad}z\right|=\dfrac{g}{\sqrt{\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2+1}}$$

и Сизиф минимизирует "оптический путь" на поверхности, с "показателем преломления" $n=(\overline{g},\overline{n}).$ В остальном, длина пути на поверхности остаётся той же самой.

[Oleg Zubelevich]

Теорема Клеро для Сизифа. Пусть гора является поверхностью вращения относительно вертикальной оси. Через $\alpha$ обозначим угол между вектором скорости камня и праллелью горы; через $r$ обозначим расстояние от камня до оси вращения. Тогда Сизиф должен тащить камень так чтобы

$$|(\overline n,\overline g)| r \cos\alpha=const.$$

[Red_Herring]

dovlato в сообщении #972358 писал(а):

Смилостивившиеся боги позволили ему саму назначать начальный и конечный путь А и В своего моциона,

dovlato в сообщении #972358 писал(а):

Как для уже заданных А и В

Некое противоречие. Вариант задачи, который обсуждался, -- для уже заданных $A$ и $B$.

Чтобы рассмотреть вариант когда разрешается выбирать $A$ и $B$, то надо вывести граничные условия в начальный и конечный моменты, и, чтобы задача не имела тривиального решения $A=B$, следует добавить ограничение (например, "пройти определенную длину" или "удалиться на определенное расстояние").

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #972491 писал(а):

Теорема Клеро для Сизифа. Пусть гора является поверхностью вращения относительно вертикальной оси. Через $\alpha$ обозначим угол между вектором скорости камня и праллелью горы; через $r$ обозначим расстояние от камня до оси вращения. Тогда Сизиф должен тащить камень так чтобы

$$|(\overline n,\overline g)| r \cos\alpha=const.$$

Отсюда: ни на какой вращательно-симметричной горе Сизиф не сможет достичь вершины, если не прицелится изначально точно по радиусу. В точке, где он перестанет приближаться к вершине, и начнёт удаляться от неё, $\cos\alpha=\max\cos\alpha=1.$

[Sicker]

Прямая линия
Проекция геодезической на рельефе на плоскость $(x_{1},x_{2})$ будет прямой линией, так если мы рассмотрим локальную окрестность рельефа, то работа на бесконечно малом перемещении будет пропорциональна проекции этого перемещения на плоскость $(x_{1},x_{2})$
Sapiety sat, господа

[Oleg Zubelevich]

Sicker в сообщении #972507 писал(а):

Sapiety sat, господа

ой-ой-ой, ну конечно
тут и для вас кое-чего осталось: опишите динамику геодезических для случая осесимметричной задачи

[Munin]

Oleg Zubelevich
Она уже описана.

Мне стыдно, что я поленился посчитать это сам. Хотя чувствовал, что решение может быть таким простым...

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #972557 писал(а):

Она уже описана.

нет, она не описана, система обладает нетеровым интегралом (кстати как и в случае, если поверхность цилиндрическая с горизонтальными образующими) и допускает понижение порядка, динамика зависит от того, как устроен приведеный потенциал, а тот зависит от поведения функции $|(\overline n,\overline g)|$ , И там может быть много чего и сепаратрисы и периодические решения и все это интересно проинтерпретировать потом физически и геометрически

[dovlato]

Зато Сизиф придумал, как можно и упростить и облегчить себе задачу, воспользовавшись нелюбовью богов к вниканию в детали.
Он (не без помощи Гефеста) сумел заделать этот камень в нечто вроде колеса с довольно острым ребром, так что оно могло катиться вдоль своей плоскости,
практически не проскальзывая в перпендикулярном направлении. Причём закон для трения остался тем же.
И вот тут, наконец, решение обрело античную простоту.

-- Пн фев 02, 2015 19:16:20 --

Red_Herring в сообщении #972499 писал(а):

dovlato в сообщении #972358 писал(а):

Смилостивившиеся боги позволили ему саму назначать начальный и конечный путь А и В своего моциона,

dovlato в сообщении #972358 писал(а):

Как для уже заданных А и В

Некое противоречие. Вариант задачи, который обсуждался, -- для уже заданных $A$ и $B$.

Чтобы рассмотреть вариант когда разрешается выбирать $A$ и $B$, то надо вывести граничные условия в начальный и конечный моменты, и, чтобы задача не имела тривиального решения $A=B$, следует добавить ограничение (например, "пройти определенную длину" или "удалиться на определенное расстояние").

Хорошо, допустим, что А и В выбирали боги. Всё остальное - на усмотрение Сизифа.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #972560 писал(а):

нет, она не описана, система обладает нетеровым интегралом

Прямолинейное движение по плоскости - тоже :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #972560 писал(а):

и допускает понижение порядка

Если б я помнил, что это такое, я бы сказал, что тоже :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #972560 писал(а):

динамика зависит от того, как устроен приведеный потенциал, а тот зависит от поведения функции $|(\overline n,\overline g)|$ ,

которое сокращается со вкладом метрики...

Oleg Zubelevich в сообщении #972560 писал(а):

И там может быть много чего и сепаратрисы и периодические решения

В движении по прямой?