Детская задачка о скорости движения

[BENEDIKT]

Попалась элементарнейшая задачка о скорости движения. Решил её двумя способами, но получил при этом различные ответы и не могу понять, почему.

Задача:
Турист ехал 3 часа на автобусе, затем шёл пешком 5 часов со скоростью, в 7 раз меньшей скорости автобуса. Далее турист сел на катер и продолжал движение на нём со скоростью, в 2 раза большей скорости ходьбы. Найти скорость движения туриста на катере, если общий путь составил 150 км.

Решение (вариант 1).
Пусть $V_1$ - скорость движения туриста на автобусе, $V_2$ - его скорость движения пешком и $V_3$ - скорость движения на катере.
Тогда $t_1=3 ч, t_2=5 ч, t_3=4,5 ч$ часа - время движения туриста на автобусе, пешком и на катере; $S_1, S_2, S_3$ - расстояния, пройденные туристом на автобусе, пешком и на катере. $S_T $ - общее расстояние и $S_T=150 $ км.
Пусть $V_1=x$
Имеем:
$V_2 = V_1/7=x/7$; $V_3=2 V_2=2x/7$
Далее:
Поскольку $S=Vt$, имеем:
$S_1=3x; S_2=5x/7; S_3=9x/7$
$S_T=S_1+S_2+S_3= 3x+5x/7+9x/7=5x$
Имеем: $5x=150$
Тогда $x=150/5=30$ км/ч $=V_1$
$V_2=30/7=4\frac{2}{7}$ км/ч
$V_3=2V_2=60/7=8,57$ км/ч

Решение (вариант 2).
Пусть $V_1$ - скорость движения туриста на автобусе, $V_2$ - его скорость движения пешком и $V_3$ - скорость движения на катере.
Тогда $t_1=3 ч, t_2=5 ч, t_3=4,5 ч$ часа - время движения туриста на автобусе, пешком и на катере; $S_1, S_2, S_3$ - расстояния, пройденные туристом на автобусе, пешком и на катере. $S_T $ - общее расстояние и $S_T $=150 км.
$V_2 = V_1/7$; $V_3=2 V_2=2V_1/7$
Средняя скорость $V_{cp}$ может быть найдена, как частное от деления общего пройденного туристом пути на общее время:
$V_{cp}= \frac{S_T}{t_1+t_2+t_3}=\frac{150}{3+5+4,5}=12$ км/ч
Также средняя скорость может быть найдена как среднее арифметическое всех скоростей:
$V_{cp}=\frac{V_1+V_2+V_3}{3}=\frac{V_1+V_1/7+2V_1/7}{3}=\frac{10V_1/7}{3}=\frac{10V_1}{21}$
Тогда $10V_1/21=12$, отсюда $V_1=\frac{252}{10}=25,2$ км
Отсюда имеем: $V_2=25,2/7=3,6$ км/ч
$V_3=2V_2=7,2$ км/ч

Таким образом, в первом случае имеем ответы: $30$ км/ч; $4\frac{2}{7}$ км/ч; $8,57$ км/ч.
Во втором случае: $25,2$ км/ч; $3,6$ км/ч и $7,2$ км/ч. Не могу понять, в каком именно случае допущена ошибка. При этом указанному в условии соотношению скоростей соответствуют оба варианта.

[provincialka]

BENEDIKT в сообщении #968274 писал(а):

Также средняя скорость может быть найдена как среднее арифметическое всех скоростей:

Нет. Не может.

[BENEDIKT]

provincialka, тогда ясно, в чём проблема. Но почему она тогда именуется средней скоростью?

[amon]

BENEDIKT в сообщении #968284 писал(а):

Но почему она тогда именуется средней скоростью?

Не именуется. Средняя скорость - весь пройденный путь, деленный на все затраченное время.

[provincialka]

Кто "она"? Средней скоростью именуется общее расстояние/общее время. То, что написали вы, как мне кажется, названия не имеет.

Тут дело вот в чем. Пусть объект движется (по некоторому пути) t часов со скоростью $a$ и столько же по времени со скоростью $b$. Тогда его средняя скорость равна $\dfrac{ta+tb}{t+t} = \dfrac{a+b}{2}$.
Если же объект проходит расстояние $S$ со скоростью $a$ и такое же расстояние со скоростью $b$, то средняя скорость равна $\dfrac{S+S}{S/a+S/b} = \dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}$. Заметьте, что в этом случае средняя скорость равна среднему гармоническому двух других.

Ну, а в вашем случае надо использовать среднее взвешенное

[Евгений Машеров]

А где в условии время движения на катере? В решении используется время 4.5 часа, в условии не указанное.

[BENEDIKT]

Теперь ясно. Благодарю Вас за ответ.

-- Вс янв 25, 2015 22:55:52 --

Евгений Машеров
Вот оно:

BENEDIKT в сообщении #968274 писал(а):

Тогда $t_1=3 ч, t_2=5 ч, t_3=4,5 ч$ часа - время движения туриста на автобусе, пешком и на катере;

[provincialka]

BENEDIKT
Это вы решение процитировали. А в условии про 4,5 часа ничего не сказано. Я восприняла это как опечатку.

[Евгений Машеров]

Условие задачи:

BENEDIKT в сообщении #968274 писал(а):

Задача:
Турист ехал 3 часа на автобусе, затем шёл пешком 5 часов со скоростью, в 7 раз меньшей скорости автобуса. Далее турист сел на катер и продолжал движение на нём со скоростью, в 2 раза большей скорости ходьбы. Найти скорость движения туриста на катере, если общий путь составил 150 км.

Оно не полностью воспроизведено, и в задачнике есть и время движения на катере, или Вы самостоятельно дополнили?

[BENEDIKT]

Прошу прощения! Я действительно не указал время движения на катере в условии. В задачнике оно было, а я не вполне точно перепечатал задачу.

[Евгений Машеров]

BENEDIKT в сообщении #968284 писал(а):

Но почему она тогда именуется средней скоростью?

Вообще средних очень много и разных. С практической точки зрения среднее это то, чем можно заменить в расчётах разные значения элементов усредняемой группы (скажем, общую зарплату на заводе можно получить, суммируя зарплаты всех работников, а можно заменить индивидуальные на среднюю, и тогда вместо суммирования можно обойтись умножением на численность работников). Для скорости разумно считать средней такую скорость, что если бы всё время двигаться с ней, мы бы прошли заданный путь за заданное время (но это не единственный способ - если сила сопротивления воздуха принята квадратичной, то для расчёта среднего расхода топлива может быть более адекватна среднеквадратичная скорость). То есть разделив путь на время - получим привычную нам "среднюю скорость". Просто усреднять скорости на разных отрезках пути бессмысленно, поскольку и это отрезки, и время, за которое они пройдены, различны. Но можно взять взвешенное среднее. Причём, если в качестве весов взять время прохождения участка с данной скоростью, то в результате придём к общепринятой средней скорости. Формально можно взвешивать и длиной пути на соответствующих отрезках, но разумной интерпретации такого "среднего" я не вижу.

[BENEDIKT]

Благодарю Вас за разъяснения.