Периодическая траектория внутри кольца

[Optimizer of control]

Помогите, пожалуйста.
Утверждение:
Пусть кольцо $M = \{\,x \in \mathbb R^2 : 1 \le |x| \le 2\,\}$ строго положительно инвариантно относительно фазового потока системы $x' = f(x), f \in \mathbb C^1$, т.е. $(f(x), x) \ge 0$ при $|x| = 1$, и $(f(x), x) \le 0$ при $|x| = 2$, и каждый радиус является локальным сечением.
Тогда внутри кольца существует периодическая траектория.

[V.V.]

У Вас есть кольцо ($1\le |x|\le 2$), из которого не выходит траекторий. Теперь воспользуемся идеей функции последования Пуанкаре. Проведем какую-нибудь кривую, трансверсально пересекающую все траектории. Какая-нибудь интегральная кривая пересечет нашу кривульку во внутреннее время $\tau_1$ и $\tau_2$. Ну, рассмотрим отображение кольца в себя за время $\tau_2-\tau_1$. Отображение сжимающее, поэтому существует неподвижная точка. Мы победили!

[Optimizer of control]

А почему отображение сжимающее?(может из-за непрерывной зависимости решений такой системы от начальных значений?)

Добавлено спустя 27 минут 56 секунд:

Или из-за Липшицовости функции f?

[V.V.]

Ну, не важно даже, то сжимающее. Это отображения компакта (кольца) в себя. Следовательно, у него есть неподвижная точка.

[Brukvalub]

V.V. писал(а):

Это отображения компакта (кольца) в себя. Следовательно, у него есть неподвижная точка.

А если кольцо повернуть этак градусов на 90 как твёрдое тело вокруг своего центра - где же будет неподвижная точка

[Someone]

V.V. писал(а):

Ну, не важно даже, то сжимающее. Это отображения компакта (кольца) в себя. Следовательно, у него есть неподвижная точка.

Тут некоторая неточность. Кольцо не обладает свойством неподвижной точки.
Но, как я понял, речь идёт всё-таки не о кольце, а дуге кривой, соединяющей края кольца и трансверсально пересекающей все траектории в этом кольце. А дуга кривой - это отрезок (точнее, дуга гомеоморфна отрезку), а отрезок обладает свойством неподвижной точки.

[Optimizer of control]

Какое тогда подразумевается отображение:
$\varphi(t,x_0)$ или $G(x)$, где первое - решение системы, а второе - функция последования(аргумент которой лежит на указанной дуге кривой)?