2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Периодическая траектория внутри кольца
Сообщение19.01.2008, 16:50 


08/01/08
58
Помогите, пожалуйста.
Утверждение:
Пусть кольцо $M = \{\,x \in \mathbb R^2 : 1 \le |x| \le 2\,\}$ строго положительно инвариантно относительно фазового потока системы $x' = f(x), f \in \mathbb C^1$, т.е. $(f(x), x) \ge 0$ при $|x| = 1$, и $(f(x), x) \le 0$ при $|x| = 2$, и каждый радиус является локальным сечением.
Тогда внутри кольца существует периодическая траектория.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.01.2008, 23:44 
Заслуженный участник


09/01/06
800
У Вас есть кольцо ($1\le |x|\le 2$), из которого не выходит траекторий. Теперь воспользуемся идеей функции последования Пуанкаре. Проведем какую-нибудь кривую, трансверсально пересекающую все траектории. Какая-нибудь интегральная кривая пересечет нашу кривульку во внутреннее время $\tau_1$ и $\tau_2$. Ну, рассмотрим отображение кольца в себя за время $\tau_2-\tau_1$. Отображение сжимающее, поэтому существует неподвижная точка. Мы победили!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.01.2008, 16:12 


08/01/08
58
А почему отображение сжимающее?(может из-за непрерывной зависимости решений такой системы от начальных значений?)

Добавлено спустя 27 минут 56 секунд:

Или из-за Липшицовости функции f?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.01.2008, 22:20 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Ну, не важно даже, то сжимающее. Это отображения компакта (кольца) в себя. Следовательно, у него есть неподвижная точка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.01.2008, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
V.V. писал(а):
Это отображения компакта (кольца) в себя. Следовательно, у него есть неподвижная точка.
А если кольцо повернуть этак градусов на 90 как твёрдое тело вокруг своего центра - где же будет неподвижная точка :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.01.2008, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
V.V. писал(а):
Ну, не важно даже, то сжимающее. Это отображения компакта (кольца) в себя. Следовательно, у него есть неподвижная точка.


Тут некоторая неточность. Кольцо не обладает свойством неподвижной точки.
Но, как я понял, речь идёт всё-таки не о кольце, а дуге кривой, соединяющей края кольца и трансверсально пересекающей все траектории в этом кольце. А дуга кривой - это отрезок (точнее, дуга гомеоморфна отрезку), а отрезок обладает свойством неподвижной точки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.01.2008, 23:15 


08/01/08
58
Какое тогда подразумевается отображение:
$\varphi(t,x_0)$ или $G(x)$, где первое - решение системы, а второе - функция последования(аргумент которой лежит на указанной дуге кривой)?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group