Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу

[brat2]

Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, как решаются такие задания:

Восстановить голоморфную функцию $f\left(z \right)$ по $\arg\left[ f\left(z \right) \right]=\arg z + x^2 - y^2$

В интернете нашел только примеры на нахождение мнимой части по действительной и наоборот.
Пробовал делать по формуле из Википедии:

$$\begin{cases} & \frac{\partial R}{\partial x} = R\frac{\partial \Phi }{\partial y} \\ & \frac{\partial R}{\partial y} = -R\frac{\partial \Phi }{\partial x} \end{cases}$$

(где R - модуль, а $\Phi$ - аргумент функции)
, получил

$$\begin{cases} & \frac{\partial R}{\partial x} = R(x,y)(\frac{x}{x^2+y^2} - 2y) \\ & \frac{\partial R}{\partial y} = R(x,y)(\frac{y}{x^2+y^2} - 2x) \end{cases}$$

дальше затрудняюсь.. Такую систему можно решить непосредственно или такие задания решаются по-другому?

[ex-math]

Можно решить непосредственно. Фактически решая эту систему, Вы восстанавливаете $\ln R$ по его полному дифференциалу. Вспомните, как уравнения в полных дифференциалах решаются. Когда через $z$ функцию выразите, ответ будет "хороший".

[brat2]

Спасибо за подсказку, не приходило в голову про логарифм!

Кажется, получается такой ответ? $f(z)=\left|z \right| e^{i\arg(z)+z^2}$

[provincialka]

А нельзя ли свернуть вот это: $f(z)=\left|z \right| e^{i\arg(z)}$ ?

[brat2]

Точно, спасибо, перезанимался кажется) $ze^{z^2}$ (забыл i ещё , извиняюсь, и константу, получается - $Aze^{iz^2}$)
Хотел ещё спросить - немного с константами запутался - там не получается ли что при умножении на любую константу ответ подходит тоже (когда восстанавливал lnZ забывал про константы)?

[provincialka]

Константа обязательно должна быть, вы же диф. уравнение решаете. Да и по смыслу ясно.

[brat2]

По смыслу?

[provincialka]

Если вы нашли одну аналитическую функцию $f(z)$ с заданным аргументом, то и всякая функция $Cf(z), C\in \mathbb R^+$ будет аналитической, и с тем же аргументом.

[brat2]

Понятно, спасибо!