2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 14:30 
Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, как решаются такие задания:

Восстановить голоморфную функцию $f\left(z \right)$ по $\arg\left[ f\left(z \right) \right]=\arg z + x^2 - y^2$

В интернете нашел только примеры на нахождение мнимой части по действительной и наоборот.
Пробовал делать по формуле из Википедии:
$$\begin{cases} & \frac{\partial R}{\partial x} = R\frac{\partial \Phi }{\partial y} \\ & \frac{\partial R}{\partial y} = -R\frac{\partial \Phi }{\partial x} \end{cases}$$ (где R - модуль, а $\Phi$ - аргумент функции)
, получил
$$\begin{cases} & \frac{\partial R}{\partial x} = R(x,y)(\frac{x}{x^2+y^2} - 2y) \\ & \frac{\partial R}{\partial y} = R(x,y)(\frac{y}{x^2+y^2} - 2x) \end{cases}$$

дальше затрудняюсь.. Такую систему можно решить непосредственно или такие задания решаются по-другому?

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 14:57 
Аватара пользователя
Можно решить непосредственно. Фактически решая эту систему, Вы восстанавливаете $\ln R$ по его полному дифференциалу. Вспомните, как уравнения в полных дифференциалах решаются. Когда через $z$ функцию выразите, ответ будет "хороший".

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 15:18 
Спасибо за подсказку, не приходило в голову про логарифм!

Кажется, получается такой ответ? $f(z)=\left|z \right| e^{i\arg(z)+z^2}$

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 16:59 
Аватара пользователя
А нельзя ли свернуть вот это: $f(z)=\left|z \right| e^{i\arg(z)}$ ?

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:04 
Точно, спасибо, перезанимался кажется) $ze^{z^2}$ (забыл i ещё , извиняюсь, и константу, получается - $Aze^{iz^2}$)
Хотел ещё спросить - немного с константами запутался - там не получается ли что при умножении на любую константу ответ подходит тоже (когда восстанавливал lnZ забывал про константы)?

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:13 
Аватара пользователя
Константа обязательно должна быть, вы же диф. уравнение решаете. Да и по смыслу ясно.

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:17 
По смыслу?

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 17:52 
Аватара пользователя
Если вы нашли одну аналитическую функцию $f(z)$ с заданным аргументом, то и всякая функция $Cf(z), C\in \mathbb R^+$ будет аналитической, и с тем же аргументом.

 
 
 
 Re: Восстановить аналитическую функцию по ее аргументу
Сообщение01.02.2015, 18:16 
Понятно, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group