Еще один вопрос про кручение

[fizeg]

Открыл Полчинского, освежить память это складывается в супергравитации/струнах. Все немножко интересней

Рассмотрим супергравитацию типа IIa. Там кроме векторного поля с 1-формой $A_1$ в качестве потенциала и полем Калб-Рамона с 2-формой $A_2$ в качестве потенциала и 3-формой $F_3=dA_2$ в качестве напряженности, у нас есть еще 3-форма $A_3$. Собственно взаимодействие $A_1$ с $A_2$ появляется через член вида $|\tilde{F}_4|^2$, где $\tilde{F}_4=dA_3-A_1\wedge F_3$. Такая модель инвариантна относительно несколько модифицированной калибровочной симметрии, в которой калибровочное преобразование $A_1\mapsto A_1+d\lambda_0$ влечет за собой $A_3\mapsto A_3+\lambda_0\wedge F_3$ (вдобавок к обычной $A_3\mapsto A_3+d\lambda_2$) При этом для фермионов $F_3$ играет роль кручения.

Еще веселее в типе I и гетеротических струнах. Взаимодействие с неабелевым векторным полем вводится через член $|\tilde{F}_3|^2$, где $\tilde{F}_3=F_3-\frac{\kappa_{10}^2}{g_{10}^2}\omega_3$ с добавкой формы Черн-Саймонса $\omega_3=\operatorname{Tr}\Big(A_1\wedge dA_1+\frac{2}{3}A_1\wedge A_1\wedge A_1\Big)$. Соответственно опять получаем модифицированную калибровочную инвариантность: смена калибровки $A_1\mapsto A_1+d\lambda-i[A_1,\lambda]$ влечет за собой добавку $\frac{\kappa_{10}^2}{g_{10}^2}\operatorname{Tr}(\lambda F_2)$ к $A_2$ при сохранении калибровочной симметрии $A_2\mapsto A_2+d\lambda_1$.

[lek]

В 11-мерии с вращением отождествляется сама 3-форма $A_{3}$. По-видимому первыми на это обратили внимание I.Bars и S.MacDowell в статье 1983 года. Статья интересна сама по себе и вполне отражает обсуждаемый здесь вопрос. Abctract и DOI находятся здесь. Полный текст можно скачать в sci-hub.org

[Name XXX]

Ко слову, по ссылке (http://arxiv.org/abs/1101.4012) - статья про то, как кручение приводит к асимметрии материя-антиматерия на ранних стадиях жизни Вселенной. В ней автор получает уравнение на кручение в присутствии фермионов, подставляет выражение для кручения из этого уравнения в действие для дираковских фермионов и получает эффективный четвертичный по фермионным полям член в лагранжиане. Этот член будет приводит к неинвариантности уравнения движения для фермионов относительно C-сопряжения, если поля - классические (не грассмановы), но при этом не нарушает C-инвариантности, если поля - грассмановы.

Вся значимость статьи строится на заявлении в предпоследнем абзаце стр. 3, которое звучит примерно так: для вычисления уровней энергии и дисперсионных соотношений для частиц нужно использовать классическое уравнение, получаемое из лагранжиана, а не квантовое. Может ли кто-нибудь прокомментировать верность этого утверждения? Мне оно кажется не очень-то верным.

[Munin]

Name XXX в сообщении #967598 писал(а):

Этот член будет приводит к неинвариантности уравнения движения для фермионов относительно C-сопряжения, если поля - классические (не грассмановы), но при этом не нарушает C-инвариантности, если поля - грассмановы.

Такое впечатление, что отсюда следует, что асимметрии материя-антиматерия этот член как раз создать не может.

[Name XXX]

Если упомянутое утверждение является верным, то может. Если же оно является неверным, то не может.

[SergeyGubanov]

fizeg в сообщении #967331 писал(а):

Да ничем $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ не плохо, кроме...

Однако же далее Вы рассуждаете так, как будто бы взяли наоборот $F_{\mu\nu} = D_{\mu} A_{\nu} - D_{\nu} A_{\mu} \; = \; \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu} - \left( \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} - \Gamma^{\lambda}_{\nu \mu} \right) A_{\lambda}$.

$$ F_{\mu\nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu} \quad \Longleftrightarrow \quad F = dA \eqno(1) $$

$$ F_{\mu\nu} = D_{\mu} A_{\nu} - D_{\nu} A_{\mu} \quad \Longleftrightarrow \quad F = dA - \Gamma^{\lambda} A_{\lambda} \eqno(2) $$

$\star \quad \star \quad \star$

Мне тут вот что в голову пришло. Спекуляция конечно ещё та, но зато позволяет "спасти" обе священные коровы.

Разобъём связность на симметричную и антисимметричную части:

$$ \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} = {\Gamma^{(+)}}^{\lambda}_{\mu \nu} + {\Gamma^{(-)}}^{\lambda}_{\mu \nu} \eqno(3) $$

Запишем ковариантную производную

$$ D_{\mu} A_{\nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - {\Gamma^{(+)}}^{\lambda}_{\mu \nu} A_{\lambda} - {\Gamma^{(-)}}^{\lambda}_{\mu \nu} A_{\lambda} \eqno(4) $$

А теперь, как это принято в калибровочных теориях, скажем что с полем ${\Gamma^{(+)}}^{\lambda}_{\mu \nu}$ поле $A_{\lambda}$ взаимодействует с константой взаимодействия $k^{(+)}$, а с полем ${\Gamma^{(-)}}^{\lambda}_{\mu \nu}$ поле $A_{\lambda}$ взаимодействует с константой взаимодействия $k^{(-)}$.

Стало быть ковариантную производную "правильно" теперь надо писать вот так:

$$ D_{\mu} A_{\nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - k^{(+)} {\Gamma^{(+)}}^{\lambda}_{\mu \nu} A_{\lambda} - k^{(-)} {\Gamma^{(-)}}^{\lambda}_{\mu \nu} A_{\lambda} \eqno(5) $$

Осталось произнести заклинание, что мол "случайно" в нашей Вселенной для взаимодействия электромагнитного поля с гравитацией константа взаимодействия

$$k^{(+)} = 1, \eqno(6)$$

а константа взаимодействия

$$k^{(-)} = 0, \eqno(7)$$

ну вот так вот "случайно" получилось и "симметрия нарушилась" Тогда между (1) и (2) разницы нету.

[Name XXX]

се это хорошо, но для построения координатного и лоренцевого скаляра действия требуется вводить связность "калибровочно-инвариантным образом". Потому все неминимальные введения связности нужно еще проверять на правильность.

По мне так интереснее смотреть на следствия теории Эйнштейна-Картана. Например, если ЭМ теория перестает быть калибровочно-инвариантной, то появляются фотоны продольных поляризаций, а лоренц-инвариантность ломается для "мягких" процессов. Нужно посмотреть, как возбуждались эти продольные моды тогда, когда вкад членов с кручением был существенен, посмотреть, каквозбуждаются эти продольные моды сейчас, и попытаться вынести вердикт этой теории.

[fizeg]

SergeyGubanov

SergeyGubanov в сообщении #968521 писал(а):

Однако же далее Вы рассуждаете так, как будто бы взяли наоборот

Я рассуждал как можно прицепить кручение, если вам так сильно этого хочется. Несмотря на то, что не цеплять вообще, не ведет ни к каким противоречиям.

SergeyGubanov в сообщении #968521 писал(а):

Мне тут вот что в голову пришло...

Я уж даже и не знаю, что сказать. То есть вы считаете, что вы предложили что-то? Не "что-то хорошее", а "что-то".

Name XXX
Тут главная опасность, которую надо иметь в виду - рождение состояний с отрицательной нормой или другие нарушения унитарности. И я не понял, почему лоренц ломается для мягких процессов?

-- 26.01.2015, 15:37 --

И да, если даже все делаем самосогласованным, еще надо учитывать ограничения на сохранение заряда

[Name XXX]

Можно показать, что поле $A_{\mu}$ не является 4-вектором относительно преобразований группы Лоренца. Для сохранения лоренц-инвариантности теории со взаимодействием с этим полем, как можно показать, нужно выполнение закона сохранения электрического заряда. Это показывается рассмотрением процесса излучения мягких фотонов для произвольной амплитуды. А закон сохранения заряда есть следствием калиброчной инвариантности.

Док-во в общих чертах можно посмотреть в первом томе монографии Вайнберга, а с дерлями - в какой-то его статье, вроде, 65-го года с Phys. Rev. Там же в рамках линеаризованной теории гравитации можно прочитать про выведение принципа эквивалентности (константа грав. взаимодействия с любым полем одинакова) в рамках КТП.

[fizeg]

Это известные для меня факты, но вот беда - это для хорошей теории, уважающей унитарность и другие принципы. Так что показывайте честно, как это у вас согласуется с лоренц-инвариантным лагранжианом например. В принципе наверняка можно с нестандартной интерпретацией лагранжиана что-то этакое построить, но хотелось бы увидеть такое в подробностях

Не всякому лагранжиану соответствует хорошая теория, иначе, к примеру, никто бы спонтанное нарушение электрослабой симметрии не выдумывал.

[Munin]

Name XXX в сообщении #968607 писал(а):

Там же в рамках линеаризованной теории гравитации можно прочитать про выведение принципа эквивалентности (константа грав. взаимодействия с любым полем одинакова) в рамках КТП.

Это можно и в ФЛГ посмотреть. (И кстати, принцип эквивалентности - несколько более сильное утверждение, верное только в не линеаризованной теории.)

[Name XXX]

Munin в сообщении #968732 писал(а):

Name XXX в сообщении #968607 писал(а):

Там же в рамках линеаризованной теории гравитации можно прочитать про выведение принципа эквивалентности (константа грав. взаимодействия с любым полем одинакова) в рамках КТП.

Это можно и в ФЛГ посмотреть. (И кстати, принцип эквивалентности - несколько более сильное утверждение, верное только в не линеаризованной теории.)

Да, то, о чем я написал, это часть доказательства, а не все оно. А что такое ФЛГ?

И я был бы очень признателен, если бы кто-то дал ответ на вопрос поста "...Ко слову, по ссылке (http://arxiv.org/abs/1101.4012) - статья про то, как кручение приводит к асимметрии...".

[Munin]

Name XXX в сообщении #968902 писал(а):

А что такое ФЛГ?

Пардон.
Фейнман, Мориниго, Вагнер. Фейнмановские лекции по гравитации.

[Name XXX]

А, я сглупил, и фраза про классическое уравнение значила не то, что я подумал. Все там законно.

[Munin]

И что в итоге она значила?