Внешние треугольники

[provincialka]

ИСН в сообщении #971709 писал(а):

Будет стремиться к какой-то предельной? К равностороннему, может быть?

Вряд ли, ведь задача аффинная.

[ИСН]

Ну так что с того? Мы видим, что в общем случае внешний треугольник даже не подобен внутреннему, что у него другая форма. А у его внешнего она какая? Другая другая. А дальше?

[provincialka]

ИСН
Пока не знаю. Просто вся конструкция сохраняется при аффинных преобразованиях. А равносторонность -- не аффинное свойство.

[ИСН]

А, ну да. Ещё загадочнее. Так что же будет делать эта форма?

[provincialka]

Она будет описывать некоторый эллипс. Я построила несколько (15) внешних треугольников. Каждый раз масштабировала (делила на $\sqrt 7$). Вот что получилось:
http://radikal.ru/f/s018.radikal.ru/i523/1501/91/6a7967d85ebe.jpg.html
(вставить саму картинку что-то не получилось)
Начальный треугольник имел координаты $(1,0), (0,1), (-1,-1)$. Новые треугольники получаются как бы вращением исходного. Причем "в несколько слоев"

[Alex_J]

ИСН в сообщении #971709 писал(а):

Красивая конструкция. Раз уж всё известно, то подумаем дальше:
1. Если у тр-ка взять внутренний левый, у того опять внутренний левый, у того снова, и т.д., то к какой точке мы устремимся в пределе?
2. А форма треугольника будет меняться как (это актуально в обе стороны - не в смысле право и лево, а в смысле наружу и внутрь)? Будет стремиться к какой-то предельной? К равностороннему, может быть? Ну ладно, но это в одну сторону (какую, кстати), а в другую как?

1. К центру. Центроиду, как уже просили уточнить.
2. Два одноуровневых треугольника (придётся такое слово ввести: левый и правый внутренние или же внешние треугольники для заданного - одноуровневые) - не подобны друг другу. Так же как внутренний или внешний не подобны заданному. Тут можно проверить отношениями сторон исходного и внутреннего:

Если $\frac{a}{b}$ ближе к единице, чем $\frac{a'}{b'}$, то да, стремится к равностороннему. Аффинность, всё-таки, требует равенства соотношений. Но тут явно преобразования похожи на квадратичные.

provincialka

Это эллипсы Штейнера.


Вот картинка.

Преобразование "наружу"*"масштаб $\sqrt 7$" порождает множество треугольников с теми же самыми эллипсами. Можно ожидать, что последовательность никогда не повторится. Но получаем ли мы множество всех возможных треугольников для одной и той же пары эллипсов Штейнера?.. Скорее всего нет, т.к. это должно быть несчётное множество, а у нас счётно.

[provincialka]

Alex_J
Да, для равностороннего треугольника получаются окружности. Проверяется счетом.

Alex_J в сообщении #971736 писал(а):

Если $\frac{a}{b}$ ближе к единице, чем $\frac{a'}{b'}$, то да, стремится к равностороннему.

Это не очень поняла. Если взять равносторонний случай, треугольники получаются поворотом на угол с косинусом $\dfrac{2}{5\sqrt7}$. Разве этот угол рационально-кратен $\pi$?
Вращение треугольников будет происходить бесконечно.

[Alex_J]

provincialka

Уже ясно, что не стремится к равностороннему. :)

-- 31.01.2015, 18:45 --

Явно существуют соотношения сторон, при которых эти треугольники повторяются после $N$ итераций.

[Alex_J]

Есть здесь ещё один очень интересный момент.

Пусть задан треугольник $T_0$. У него есть два внутренних треугольника: $t_0$ и $t_1$. У каждого из них, в свою очередь, имеется ещё по одному внешнему треугольнику, $T_1$ и $T_{-1}$, и так далее, вот схема цепочки преобразований:

$$ \xymatrix{ && T_{-1} \ar@{->}[dl] && T_0\ar@{->}[dl] \ar@{->}[dr] &&T_1 \ar@{->}[dr] \\ & ... && t_0 \ar@{->}[ul] && t_1 \ar@{->}[ur] && ... \\ } $$

Замкнута и конечна ли эта цепочка или же бесконечна?

Моделирование показывает, что рисуется такое же множество треугольников между эллипсами Штейнера:


На рисунке несколько уровней треугольников, сгенерированных по цепочке IntRight->ExtLeft->...

То есть, ответ - цепочка бесконечна и не повторяется. Опять-таки, при определённых соотношениях сторон будет повторяться.

[ИСН]

"Свободная группа", что ли?
Погодите. Если взять от треугольника левый внешний, от него правый внешний, от него левый внутренний, а от него правый внутренний (порядок важен) - мы вернёмся откуда начали, или, вообще говоря, нет?

-- менее минуты назад --

Alex_J в сообщении #971746 писал(а):

Явно существуют соотношения сторон, при которых эти треугольники повторяются после $N$ итераций.

Аффинный факир пил аффинное кофе! Растянем картинку, чтобы треугольник превратить в равносторонний. Все его потомки останутся потомками. Значит что? Либо повторы будут всегда, либо никогда. Больше похоже, что никогда.

[Alex_J]

ИСН

Хе хе. :)
Повторов никогда не будет. Повороты после пары преобразований левый внешний - правый внутренний (или наоборот, неважно) не зависят от соотношения сторон. Пока что всё этоя вижу при моделировании, но и доказать строго это не мешало бы.

Преобразования-то наши внутрь-наружу не аффинные сами по себе.

(Оффтоп)

А кофе он аффинный.

-- 31.01.2015, 21:43 --

ИСН в сообщении #971910 писал(а):

Если взять от треугольника левый внешний, от него правый внешний, от него левый внутренний, а от него правый внутренний (порядок важен) - мы вернёмся откуда начали, или, вообще говоря, нет?

С обратимостью и перестановкой операторов местами у преобразования всё в порядке.

Но вот тот угол, вычисленный provincialka-й, $\arccos\dfrac{2}{5\sqrt7}$, остаётся. Он только меняется при растяжениях треугольника, но меняется так, что результат тот же, т.е. там на эллипсе углы искажаются, но вместе с факиром. ))

[ИСН]

Alex_J в сообщении #971928 писал(а):

Повторов никогда не будет.

Так, хорошо.

Alex_J в сообщении #971928 писал(а):

Повороты после пары преобразований левый внешний - правый внутренний (или наоборот, неважно) не зависят от соотношения сторон.

Само собой (в силу той же аффинности; она не там, где Вы говорите, что её нет), но спросил-то я про другое.

-- менее минуты назад --

Alex_J в сообщении #971928 писал(а):

С обратимостью и перестановкой операторов местами у преобразования всё в порядке.

Я в жизни видел несколько преобразований, у которых с этим было всё в порядке, только у всех по-разному. Как, скажите же наконец?

-- менее минуты назад --

Всё, сам проверил: да, коммутируют.
Ладно.

[provincialka]

Alex_J в сообщении #971746 писал(а):

Явно существуют соотношения сторон, при которых эти треугольники повторяются после $N$ итераций.

Alex_J в сообщении #971928 писал(а):

Преобразования-то наши внутрь-наружу не аффинные сами по себе.

Почему? Что там неаффинного? Откладываются равные отрезки на прямой, все вполне аффинно. В определенной системе координат (где треугольник равносторонний) преобразование есть поворот с растяжением, так что все они перестановочны.

[Alex_J]

Прямые, на которых лежат стороны внутреннего треугольника, делят стороны исходного в соотношении $1:2$, т.е. более короткая часть стороны относится к целой как $1:3$. Таким образом, построить внутренний треугольник стало ещё проще. Но также можно сформулировать более общий подход к построению внутренних треугольников. Пусть из вершины треугольника на противоположную сторону опускается отрезок, назовём его несущим, делящий её в отношении к длине стороны как $1:\kappa$, $\kappa\geq 2$. Три таких несущих отрезка, построенных из каждой из вершин, на пересечениях образуют вершины внутреннего треугольника, которому назначим параметр сечения сторон, то самое $\kappa$. На несущих отрезках располагаются стороны внутреннего треугольника, т.е. "несут" их. При $\kappa=2$ несущие отрезки совпадают с медианами заданного треугольника, и и внутренний треугольник вырождается в точку в центроиде. Вблизи 2 его стороны почти параллельны медианам. По мере увеличения $\kappa$ внутренний треугольник поворачивается, и при $\kappa\to\infty$ стремится совпадать с заданным.

В зависимости от того, в какую сторону от медианы отмерен угол между медианой и несущим отрезком, если смотреть со стороны... стороны)), т.е. вершина, лежащая на несущем, "дальше" или "сверху", внутренний треугольник и называется левым или правым.

Для случая, с которым мы работали с самого начала темы, повторю, $\kappa=3$.

Площадь внутреннего треугольника с параметром сечения сторон $\kappa$ равна

$$S_\kappa=S\frac{\kappa^2-4\kappa+4}{\kappa^2-\kappa+1}$$

При $\kappa=3$, проверяем, получаем $\dfrac S 7$.

-- 31.01.2015, 23:08 --

ИСН

Вот и славно, что проверили.

provincialka

Всё уже уяснено, и про иррациональную величину поворота (к $\pi$), и про аффинность, всё уже в порядке.

[Alex_J]

Ну и напоследок осталось выяснить, как в общем случае строить внешний треугольник для произвольного $\kappa$. Для начала, вот как выглядят барицентрические координаты внутреннего треугольника ($\lambda=\kappa^2-\kappa+1$):

$$\begin{cases} (1-\dfrac\kappa \lambda; \dfrac 1 \lambda; \dfrac {\kappa-1} \lambda)\\ (\dfrac 1 \lambda; \dfrac {\kappa-1} \lambda;1-\dfrac\kappa \lambda)\\ (\dfrac {\kappa-1} \lambda;1-\dfrac\kappa \lambda; \dfrac 1 \lambda) \end{cases}\eqno(1)$$

Удивительно простые выражения получились для координат точек внешнего треугольника $DEF$, такого, что в его барицентрической системе точки треугольника $ABC$ имеют те же координаты, что и точки внутреннего треугольника с параметром $\kappa$:

$$D=(\frac{\kappa x_A-x_A-x_B}{\kappa-2},\frac{\kappa y_A-y_A-y_B}{\kappa-2})$$

$$E=(\frac{\kappa x_B-x_B-x_C}{\kappa-2},\frac{\kappa y_B-y_B-y_C}{\kappa-2})$$

$$F=(\frac{\kappa x_C-x_C-x_A}{\kappa-2},\frac{\kappa y_C-y_C-y_A}{\kappa-2})$$