Сделать норму евклидовой

[Padawan]

Для любого натурального числа $n$ найдется число $C=C(n)>0$ такое, что в любом нормированном пространстве $(X,\|\cdot\|)$ размерности $n$ можно ввести евклидову норму $\|x\|_e$ удовлетворяющую неравенству $C^{-1}\|x\|\leqslant \|x\|_e\leqslant C\|x\|$

(норму назовем евклидовой, если она порождается некоторым скалярным произведением)

[мат-ламер]

Есть теорема, что в конечномерном линейном пространстве любые две нормы эквивалентны (в смыле мажорируют друг друга с какими-то константами и порождают одну и ту же топологию). Доказательство основано на непрерывности любой нормы, компактности единичного шара в конечномерном нормированном пространстве (для любой нормы) и того факта, что непрерывная функция достигает экстремума на компактном множестве. Ваша задача не про это? (А евклидову норму в конечномерном пространстве можно задать как корень из суммы квадратов координат).

[Padawan]

мат-ламер
У меня порядок кванторов не такой. Любые две нормы эквивалентны -- это значит для любых двух норм найдётся константа (зависящая от этих норм) такая, что выполняется указанное неравенство. А у меня в задаче требуется, чтобы нашлась константа (зависящая только от размерности рассматриваемого пространства) такая, что для любой нормы найдется евклидова норма, удовлетворяющая неравенству.

Грубо говоря, изменяя длину каждого вектора не более чем в $10$ раз (своя константа для каждой размерности), любую норму можно сделать евклидовой.

[grizzly]

Padawan,
Буду благодарен если поможете мне лучше понять задачу. Я приведу наивные рассуждения, а Вас попрошу объяснить, где они могут быть недостаточны. Если можно, 2-3 буквы Вашего мнения по поводу истинности (ложности / сомнительности) каждого из следующих пунктов.

1) Пусть, для определённости, мы выбрали ортонормированный базис и соответствующую евклидову норму $\|\cdot \|_e$. Насколько я понял, нам необходимо и достаточно показать, что если мы зафиксируем 2 произвольных единичных (в данной норме) вектора $\mathbf a$ и $\mathbf b$, то при любой норме $\|\cdot \|_x$ следующее соотношение для этих векторов должно быть ограничено некоторыми константами: $C^{-1}\le \dfrac{\|\mathbf a \|_x}{\|\mathbf b \|_x}\le C$.

2) Если так, тогда требуемое обеспечивается за счёт выпуклости единичного шара в конечномерном пространстве. В частности,

3) В $\mathbb R^2$ в качестве константы можно взять $\sqrt{2}$.

[ewert]

У меня есть сильные подозрения, что попросту $C(n)=\sqrt{n}$. Однако доказать пока не выходит, а возиться с абстрактным Це как-то не хочется (в силу подозрений).

grizzly в сообщении #971789 писал(а):

3) В $\mathbb R^2$ в качестве константы можно взять $\sqrt{2}$.

Это-то безусловно (хотя и отнюдь не в силу только выпуклости). Вопрос в том, как обобщить размерность.

[Padawan]

grizzly в сообщении #971789 писал(а):

1) Пусть, для определённости, мы выбрали ортонормированный базис и соответствующую евклидову норму $\|\cdot \|_e$. Насколько я понял, нам необходимо и достаточно показать, что если мы зафиксируем 2 произвольных единичных (в данной норме) вектора $\mathbf a$ и $\mathbf b$, то при любой норме $\|\cdot \|_x$ следующее соотношение для этих векторов должно быть ограничено некоторыми константами: $C^{-1}\le \dfrac{\|\mathbf a \|_x}{\|\mathbf b \|_x}\le C$.

"единичных (в данной норме)" в какой данной? В евклидовой?

Для любых двух векторов $a$, $b$ можно найти норму, в которой длины этих векторов , будут произвольны. Так что это неравенство не может выполняться сразу для всех норм.

[grizzly]

Padawan в сообщении #971951 писал(а):

"единичных (в данной норме)" в какой данной? В евклидовой?

Да, в той евклидовой норме которая была выбрана по построению в начале этого пункта (п.1).

UPD. Удалено. Спасибо, я сколько-то понял и дальше попытаюсь самостоятельно.

[Padawan]

ewert
А как у вас получается, что в при $n=2$ можно взять $C(2)=\sqrt{2}$ ?

[Evgenjy]

Возьмем действительные числа (т. е. одномерное линейное пространство). Введем $p$-адическую норму. Сомневаюсь, что полученное нормированное пространство можно "оевклидить" указанным способом. Однако вопрос остается для архимедовых норм.

[sup]

У меня вроде бы получилась простая оценка

$$\|x\|_e \leqslant \|x\| \leqslant D\|x\|_e$$

где

$$\int \limits_1^D (y^2 - 1) \left ( \frac {D - y}{D} \right )^{n-1} dy \geqslant 1$$

Откуда получаем, что $D \sim n$.

[Padawan]

sup
Даже не представляю откуда там интеграл вылезти может:)

Из моего способа доказательства оценка получается гораздо грубее $C(n)=\sqrt{\frac{4^n-1}{3}}\sim \frac{2^n}{\sqrt{3}}$, в частности $C(2)=\sqrt{5}$. Но мне тоже кажется, что точное значение $C(2)=\sqrt{2}$.

[sup]

Пусть $W$ - единичный шар в данной норме. С геометрической точки зрения речь идет о том, чтобы вписать в $W$ эллипсоид и описать вокруг $W$ соосный эллипсоид. Причем так, чтобы коэффициент подобия этих эллипсоидов был как можно меньше. Неприятность в том, что нужны именно эллипсоиды, шарами не отделаешься. А это неудобно. Нужно ломать голову по поводу направления осей. Поэтому наша первая задача - сделать $W$ максимально симметричным, с помощью подходящего преобразования координат. Это довольно просто. Насколько мне известно, подобные штуки часто проделывают в факторном анализе. Выражаясь крайне вольно, надо привести $W$ к главным осям. Обозначим объем шара $W$ через $M(W)$. Выберем некий ортонормированный базис и составим матрицу $A$ с элементами

$$A_{ij} = \frac{1}{M(W)}\int \limits_Wx_ix_jdW$$

Это симметричная положительно-определенная матрица. Приведем ее к главным осям и перейдем к соответствующему ортонормированному базису. В этом базисе матрица становится диагональной. Применяя растяжение приведем матрицу к единичной. Таким образом, в некотором новом ортогональном базисе (не нормированном) имеем $A_{ij} = \delta_{ij}$. (Под действием этого преобразования $W$ перейдет в множество $W'$, но мы оставляем прежние обозначения). Вот теперь мы получили максимально симметричную ситуацию и будем работать с шарами, а не эллипсоидами.
Покажем, что $W$ содержит единичный шар. Пусть это не так. Рассмотрим элемент $z \in \partial W$ с минимальной нормой. Поскольку повороты не меняют матрицу $A$, то без потери общности считаем, что $z = (z_1,0, ...)$ и $z_1 > 0$. Это означает, что для всех $x = (x_1, x_2 ...) \in W$ выполнено неравенство $|x_1| \leqslant z_1$. Однако $A_{11} = 1$, что невозможно при $z_1 < 1$.
Теперь рассмотрим элемент $z \in \partial W$ с максимальной нормой. Обозначим ее как $D$. Опять таки можно считать, что $z = (D,0, ...)$. Интуитивно ясно, что $D$ не может быть слишком большим, коль скоро $A_{11} = 1$. Элементы с большой первой координатой давали бы слишком большой вклад в интеграл. Пусть $t \geqslant 0$. Обозначим $S(t)$ - объем сечения множества $W$ гиперплоскостью $x_1 = t$. Ясно, что

$$ M(W) = 2\int \limits_0^D S(t) dt$$

Так как $A_{11} = 1$

$$ M(W) = 2\int \limits_0^D S(t)t^2 dt$$

Значит

$$ \int \limits_1^D S(y)(y^2 - 1)dy \leqslant \int \limits_0^1 S(t) dt = J$$

В силу выпуклости для любого $t \in (0,1)$ множество $W$ содержит конус с основанием $S(t)$ и вершиной $z$. А значит для любого $y \in (1,D)$ имеет место неравенство

$$ S(y) \geqslant S(t) \left (\frac {D - y}{D - t} \right )^{n-1}$$

Проинтегрируем по $t \in (0,1)$ и получим

$$ S(y) \geqslant J \left (\frac {D - y}{D} \right )^{n-1}$$

Осталось подставить это неравенство в то что было раньше и сократить на $J$. В результате получим

$$\int \limits_1^D (y^2 - 1) \left ( \frac {D - y}{D} \right )^{n-1} dy \leqslant 1$$

[Oleg Zubelevich]

как я понял, sup
вычисляет оператор инерции шара по норме $\|\cdot\|$ и объявляет его матрицей Грамма

[sup]

(Оффтоп)

Цитата:

-Хм, так значит это Вы таскали мои плюшки ?!
-Ну, откровенно говоря, да, я.

[Padawan]

sup
Спасибо! Очень интересное и красивое решение!