Метод разделения переменных

[_PrizraK_]

Как грамотно ответить на вопрос: Почему в начале решения мы разделяем переменных по такому принципу:
$U(x,t)=X(x)T(t)$
А когда пишем ответ, то уже суммируем найденные решения:
$U(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}$X(x)T(t)
Т.е. почему возникает знак суммы?

[ИСН]

Да.

-- менее минуты назад --

Какой вопрос - такой ответ. Почему мы это делаем? Потому что можем. Вот выкладки, туда-сюда, вот видите: если это и это - решения одномерных уравнений, то произведение - решение большого уравнения. А почему складываем? Тоже потому что можем. Уравнение (где оно, кстати) линейное - значит, решения можно складывать, и будут получаться тоже решения.

[Munin]

Вопрос специально сформулирован так, чтобы отсеять тех студентов, которые бездумно списывают с доски и бездумно повторяют за преподавателем. Шик!

[ewert]

_PrizraK_ в сообщении #971689 писал(а):

Почему в начале решения мы разделяем переменных по такому принципу:
$U(x,t)=X(x)T(t)$

А просто наобум. Это давно устаревший (и уже неприличный) вариант метода Фурье. Пользуйте то же самое, но в варианте разложения по собственным функциям. Там хоть сознательно; не говоря уж о том, что общЕе.

[Munin]

На самом деле, логика такая.
1. Уравнение линейное. Значит, любое решение выражается через базис решений.

(Оффтоп)

(Для нелинейных уравнений метод вообще не годится, и вообще их решать намного труднее.)

2. Перейдём от задачи нахождения любого решения к задаче нахождения каких-то базисных решений.

3. Предположим, что базисное решение раскладывается в произведение: $U(x,t)=X(x)\,T(t).$


(Оффтоп)

(Внимание, если предположение не работает - придётся перейти к другому методу решения.)
4. Обычно это разложение требует какого-то дополнительного параметра, общего для $X(x)$ и $T(t)$: $U(x,t)=X_n(x)\,T_n(t).$
5. Решаем отдельно уравнения на $X(x)$ и $T(t).$ Получаем множества $X_n(x)$ и $T_n(t).$
6. Замечаем, что параметр должен быть равен для обоих множителей. Таким образом, базисные решения имеют вид $U_n(x,t)=X_n(x)\,T_n(t).$

7. Собираем из базисных решений произвольное решение: $U(x,t)=\sum\limits_n c_n U_n(x,t)\quad=\sum\limits_n c_n X_n(x)\,T_n(t).$
8. Можем заняться ещё каким-нибудь анализом смысла найденного решения, глядя на базисные решения.

-- 31.01.2015 21:00:35 --

Пусть вначале мы имеем однородное уравнение $DU(x,t)=0,$ где $D$ - некий линейный дифференциальный оператор. Пусть этот оператор удаётся представить в виде $D=D_x+D_t,$ где $D_x$ и $D_t$ - дифференциальные операторы, действующие только на переменную $x$ и переменную $t$ соответственно. Тогда $DU(x,t)=D_x U(x,t)+D_t U(x,t)=0.$

Рассматривая (как кандидат в базисное решение) $U(x,t)$ вида $X(x)\,T(t),$ получаем

$$D\bigl(X(x)\,T(t)\bigr)=\bigl(D_x X(x)\bigr)\,T(t)+X(x)\,\bigl(D_t T(t)\bigr)=0.$$

Если теперь $X(x)$ и $T(t)$ являются решениями задач на собственные значения

$$D_x X_m(x)=\lambda_m X_m(x),\qquad D_t T_n(t)=\lambda_n T_n(t),$$

то исходное уравнение принимает вид

$$D\bigl(X(x)T(t)\bigr)=\lambda_m X_m(x)\,T_n(t)+\lambda_n X(x)\,T(t)=0.$$

Осталось подобрать такие пары $m$ и $n,$ такие что $\lambda_m=-\lambda_n.$

Вот как доказывать, что полученные решения образуют полный базис, я не знаю.

Обобщение на произвольное число переменных отсюда видно прозрачно:

$$\begin{gathered}D=D_1+\ldots+D_k,\\U(x_1,\ldots,x_k)=X_1(x_1)\,\ldots\,X_k(x_k),\\\forall i\,\,\exists\{(n_i,\lambda_{n_i})\}\quad D_i X_{i(n_i)}(x_i)=\lambda_{n_i}X_{i(n_i)}(x_i),\\\lambda_{n_1}+\ldots+\lambda_{n_k}=0.\end{gathered}$$

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #971927 писал(а):

Значит, любое решение выражается через базис решений.

Не значит. Не факт, что тот базис даже не то что существует, но даже -- что это словосочетание вообще имеет хоть какой-то смысл. Применительно к данной задачке.

Munin в сообщении #971927 писал(а):

3. Предположим, что базисное решение раскладывается в произведение: $U(x,t)=X(x)\,T(t).$

Не предположим. Во-первых, "базисное" вообще никогда и ни разу никуда не раскладывается. А во-вторых -- это попросту абсолютный бред.

Вы всё ж думайте хоть иногда, чего постите.