На самом деле, логика такая.
1. Уравнение линейное. Значит, любое решение выражается через
базис решений.
(Оффтоп)
(Для нелинейных уравнений метод вообще не годится, и вообще их решать намного труднее.)
2. Перейдём от задачи нахождения
любого решения к задаче нахождения каких-то
базисных решений.
7. Собираем из базисных решений произвольное решение:

8. Можем заняться ещё каким-нибудь анализом смысла найденного решения, глядя на базисные решения.
-- 31.01.2015 21:00:35 --Пусть вначале мы имеем однородное уравнение

где

- некий линейный дифференциальный оператор. Пусть этот оператор удаётся представить в виде

где

и

- дифференциальные операторы, действующие только на переменную

и переменную

соответственно. Тогда

Рассматривая (как кандидат в базисное решение)

вида

получаем

Если теперь

и

являются решениями задач на собственные значения

то исходное уравнение принимает вид

Осталось подобрать такие пары

и

такие что

Вот как доказывать, что полученные решения образуют полный базис, я не знаю.
Обобщение на произвольное число переменных отсюда видно прозрачно:
