дельта-функция

[amon]

Vince Diesel в сообщении #971622 писал(а):

Тождественно равный нулю, правда

Позволю себе не согласиться. $\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(x-x_{0})f(x_0)dxdx_0=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x_0)f(x_0)dx_0=f(0)$

[Munin]

amon
А вот когда пределы начинаете расставлять, то и вправду второй закорючки не хватает...

[amon]

Лучше?

[Vince Diesel]

Так разные функции. То одной переменной при фиксированном $x_0$, а это свертка в смысле обобщенных функций $\delta*\delta=\delta$.

[Oleg Zubelevich]

Есть такая классическая хохма про умножение обобщенных функций. Мы знаем, что $\frac{1}{x}\cdot x=1$ и $x\cdot\delta(x)=0$ оба тождества в $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Вооружившись этими двумя равенствами, находим

$$\delta(x)=\Big(\frac{1}{x}\cdot x \Big)\cdot\delta(x)=\frac{1}{x}\cdot (x\cdot\delta(x))=0$$

в $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.

[warlock66613]

amon, отличие в том, что Vince Diesel говорит именно о произведении, в то время как у вас получается не произведение, а свёртка. Чтобы понять различие, полагаю, нужно отказаться от записи с интегралами (которая делает вид, что обобщённая функция - это просто необычная функция) в пользу более однозначной, принятой в математических текстах.

-- 31.01.2015, 13:34 --

Я слышал, что если отказаться от коммутативности умножения обобщённых функций, то можно дать определение произведению обобщённых функций, причём ассоциативность сохраняется. Не знаю точно - правда или нет. Если правда, то не знаю, почему этим не пользуются те же физики - ведь бывают случаи, когда вылезает квадрат дельта-функции.

[amon]

Я тут уже где-то писал про математиков с тапками. Так вот, рискуя нарваться на очередную порцию. Меня учили, что обобщенная функция это функционал в.. над... э.. ну, в общем, множеством достаточно хороших (по крайней мере, ограниченных) функций. Поэтому функция $\frac{1}{x}$ туда не входит. Запись в виде интеграла - символическая, но при этом я не уловил как Vince Diesel определяет действие функционала согласованным со стандартным определением $\delta$-функции образом.

[warlock66613]

amon в сообщении #971651 писал(а):

Поэтому функция $\frac{1}{x}$ туда не входит.

(1/x)

Я бы сказал, что она туда входит аж три раза - как $\dfrac 1 {x \pm i0}$ и $P \frac{1}{x}.$

В посте Oleg Zubelevich под $\frac{1}{x}$ подразумевалась $P \frac{1}{x}$.

[amon]

warlock66613 в сообщении #971653 писал(а):

подразумевалась $P \frac{1}{x}$.

А тогда все хорошо - действительно ноль. Стоп. Нет. Тогда, по моему, $xP \frac{1}{x}\ne 1$.

[warlock66613]

(deleted)

amon в сообщении #971656 писал(а):

Тогда, по моему, $xP \frac{1}{x}\ne 1$.

А, да, вообще $x$ - недостаточно хорошая функция. Тогда я тоже не знаю как расшифровать послание Oleg Zubelevich.

[Otta]

amon в сообщении #971656 писал(а):

Тогда, по моему, $xP \frac{1}{x}\ne 1$.

Почему не равна? равна.

[warlock66613]

Всё-таки действительно $x \cdot P \frac 1 x = 1$, хотя я и не могу сообразить как же так получается.

[amon]

warlock66613 в сообщении #971657 писал(а):

$x$ - недостаточно хорошая функция.

С $x$ - то, по-моему, все в порядке, но $xP \frac{1}{x}$ это функционал, и не для всех хороших $\varphi$ верно $\int xP \frac{1}{x}\varphi(x)dx=\int \varphi(x)dx.$ Или для всех? Не соображу сразу.

[warlock66613]

amon, я понял - я на какое-то мгновение начал думать о $x \cdot P \frac 1 x$ как о $(P \frac 1 x, x)$, вот и не получалась единица. Может, Вы тоже?

-- 31.01.2015, 14:13 --

amon в сообщении #971661 писал(а):

Или для всех?

Для всех конечно. Значок главного значения выбрасывает точку $x=0$ из области интегрирования, а значит под интегралом $x \frac 1 x = 1$.

[amon]

Да, 1. Математики, как всегда, правы. Запрет на умножение обобщенных функций без бубна не обойти, да и с бубном тяжело.