дельта-функция

[Sicker]

Я так понимаю так делать нельзя?
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-x_{0})dx=f(x_{0}) \rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(x-x_{0})dx=\delta(x_{0})$?

[Munin]

Нельзя. Под интегралом $dx$ добавлять положено.

[Sicker]

(Оффтоп)

Добавил.
По-прежнему нельзя?

[Munin]

Да, по-прежнему нельзя, но по другим причинам. Правила техники безопасности при работе с дельта-функциями нарушены. Считайте, что вас придавило упавшим бесконечным значением.

[amon]

Sicker в сообщении #971459 писал(а):

По-прежнему нельзя?

Можно, если ответ будет интегрироваться по $x_0$.

[Geen]

(Оффтоп)

Пишем дельту - подразумеваем интеграл (из воспоминаний 20-летней давности )

[Munin]

amon в сообщении #971478 писал(а):

Можно, если ответ будет интегрироваться по $x_0$.

Это разве не знаменитая некорректная "дельта в квадрате"?

-- 31.01.2015 01:57:48 --

А, ну да. Если интеграл по $x_0,$ то всё окей.

-- 31.01.2015 01:58:36 --

Но вот стрелочку $\rightarrow$ здесь писать, я полагаю, всё ж таки нельзя :-)

[amon]

Munin в сообщении #971489 писал(а):

Это разве не знаменитая некорректная "дельта в квадрате"?

Вообще, тут я совру - недорого возьму, но вроде - нет. Выражение $\int dxdy\delta(x)\delta(y) \varphi(x,y)$ корректно. Наше заменой переменных сводится к нему, если написать
$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(x-x_{0})f(x_0)dxdx_0$. При этом $1\cdot f(x-y)=\varphi(x,y)$. В общем, ждем математиков с тапками и помидорами.

[Geen]

(Оффтоп)

amon в сообщении #971493 писал(а):

Выражение $\int dxdy\delta(x)\delta(y) \varphi(x,y)$ корректно.

Только значок интеграла должен быть двойной для корректности в моём понимании

[amon]

(Оффтоп)

Geen в сообщении #971499 писал(а):

олько значок интеграла должен быть двойной для корректности в моём понимании

Там еще пределы должны быть, но, надеюсь, все и так поняли, что сказать хотел.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #971440 писал(а):

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-x_{0})dx=f(x_{0}) \rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(x-x_{0})dx=\delta(x_{0})$?

То, что Вы написали называется сверткой (convolution). Операция $(f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)\,dy$ с функций (хотя бы одна имеет компактный носитель) переносится на обобщенные функции (хотя бы одна имеет компактный носитель). В этой операции $\delta$ является единицей: $f*\delta=\delta*f=f$.Т.ч. в принципе все корректно.

[Munin]

(Оффтоп)

amon в сообщении #971493 писал(а):

В общем, ждем математиков с тапками и помидорами.

Это они завсегда запросто :-)

Geen в сообщении #971499 писал(а):

Только значок интеграла должен быть двойной для корректности в моём понимании :-)

Ну, это так уныло, а в $\iiiint\mathcal{L}\,d^4x$ вы тоже четыре крючочка пишете? :-)

[мат-ламер]

Sicker в сообщении #971440 писал(а):

Я так понимаю так делать нельзя?
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-x_{0})dx=f(x_{0}) \rightarrow \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\delta(x-x_{0})dx=\delta(x_{0})$?

Если только не задавать вопрос: $\delta(x_{0})$ - это вообще что? В математических пакетах есть такое понятие - отложенное вычисление функций.

[Munin]

мат-ламер
А определение слабо почитать? У дельты есть вполне себе определение, без использования понятия отложенного вычисления.

[Vince Diesel]

Перемножать обобщенные функции иногда можно. В частности, когда у них носители сингулярностей не пересекаются. Так что $\delta(x)\delta(x-x_0)$ при фиксированном $x_0\ne0$ вполне себе функционал. Тождественно равный нулю, правда