2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поиск асимптотической формулы ДУ
Сообщение29.01.2015, 21:55 


28/01/15
17
Здравствуйте! Передо мной стоит задача найти 1-2 члена асимптотической формулы при $x\rightarrow+\infty$ для дифференциального уравнения, с учётом условия для $y(0)$. Я нашёл решение дифференциального уравнения, однако как выделить асимптотику - не пойму. Вот условие:
$$
y'+xy = Sinx
$$
$$  
y(0)=y_0
$$
Вот мой ход решения. Сначала нахожу решение однородного уравнения $y'+xy=0$ :
$$
\frac {dy} {dx} =-xy
$$
$$
\frac {dy} {y} = -x dx
$$
$$
y = Ce^{-{\frac {x^2} {2}}}
$$
Далее, применяю метод вариации постоянных: $y(x)=C(x)\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}}$. Дифференцирую по x и получаю производную $y$: $y'=C'(x)\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}} - x\cdot C(x) \cdot {e^{-{\frac {x^2} {2}}}} $ . Выражения для $y$ и $y'$ подставляю в исходную задачу и получаю следующее:
$$
\frac {dC(x)} {dx} = {e^{\frac {x^2} {2}}}\cdot Sinx
$$
Отсюда:
$$
C(x) = \int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + C_1
$$
Подставляя $C(x)$ в выражение для $y(x)$ получил:
$$
y(x) = {e^{-{\frac {x^2} {2}}}}\int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + C_1\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}}
$$
Для того, чтобы найти $C_1$ подставляю $0$ вместо $x$ в исходное уравнение (см. условие $y(0)=y_0$) и получаю, что $C_1 = y_0$.
В итоге, решение выглядит следующим образом:
$$
y(x) = {e^{-{\frac {x^2} {2}}}}\int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + y_0\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}}
$$
Но. Как тут найти асимптотическое решение? Пытался разложить по формуле $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ , однако ничего кроме как не берущегося интеграла и интеграла под знаком интеграла не получил. Подробно описал процесс решения, вдруг там есть ошибки, но, как мне кажется, всё верно. Как тут можно получить 1-2 члена асимптотической формулы - не понимаю, в этом и вся проблема. Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск асимптотической формулы ДУ
Сообщение29.01.2015, 22:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Saitoa в сообщении #970818 писал(а):
$$
y(x) = {e^{-{\frac {x^2} {2}}}}\int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + y_0\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}}
$$

(никакой теории не помню) Внесите внешнюю экспоненту под знак интеграла и объедините с внутренней. Получится в первом приближении экспонента с линейным выражением, начиная от верхнего предела. Которая, если проигнорировать хвосты на бесконечности, даст после интегрирования с синусом нечто вполне определённое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск асимптотической формулы ДУ
Сообщение29.01.2015, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Да, пожалуй можно начать с замены $t=x(1-u)$. Когда будете заменять показатель на линейную функцию, для оценки точности такой замены запишите ошибку в виде интеграла от разности точной и приближенной функций, и возьмите по частям, так чтобы иксы шли в знаменатель. Авось что и получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск асимптотической формулы ДУ
Сообщение30.01.2015, 00:10 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Про ТеХ)

Синус набирается так: \sin.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск асимптотической формулы ДУ
Сообщение30.01.2015, 10:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Можно вот как сделать:$$\int_0^xe^{\frac {t^2}2}\sin tdt=\sqrt{e}\,\mathrm {Im}\int_0^xe^{\frac {(t+i)^2}2}dt. $$Потом записать этот интеграл по другому пути -- через точки $-i $, $x-i $. В итоге останется константа типа $\mathrm {erf}(1) $ и интеграл вида $$\int_0^1e^{-\frac {y^2}2}\cos xydy, $$асимптотика которого легко считается интегрированием по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поиск асимптотической формулы ДУ
Сообщение30.01.2015, 13:47 


28/01/15
17
ex-math, спасибо, теперь разобрался :-)
Aritaborian, в следующий раз учту) что-то про правильную запись синуса не подумал

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group