Поиск асимптотической формулы ДУ

[Saitoa]

Здравствуйте! Передо мной стоит задача найти 1-2 члена асимптотической формулы при $x\rightarrow+\infty$ для дифференциального уравнения, с учётом условия для $y(0)$. Я нашёл решение дифференциального уравнения, однако как выделить асимптотику - не пойму. Вот условие:

$$ y'+xy = Sinx $$ $$ y(0)=y_0 $$

Вот мой ход решения. Сначала нахожу решение однородного уравнения $y'+xy=0$ :

$$ \frac {dy} {dx} =-xy $$

$$ \frac {dy} {y} = -x dx $$

$$ y = Ce^{-{\frac {x^2} {2}}} $$

Далее, применяю метод вариации постоянных: $y(x)=C(x)\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}}$. Дифференцирую по x и получаю производную $y$: $y'=C'(x)\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}} - x\cdot C(x) \cdot {e^{-{\frac {x^2} {2}}}} $ . Выражения для $y$ и $y'$ подставляю в исходную задачу и получаю следующее:

$$ \frac {dC(x)} {dx} = {e^{\frac {x^2} {2}}}\cdot Sinx $$

Отсюда:

$$ C(x) = \int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + C_1 $$

Подставляя $C(x)$ в выражение для $y(x)$ получил:

$$ y(x) = {e^{-{\frac {x^2} {2}}}}\int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + C_1\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}} $$

Для того, чтобы найти $C_1$ подставляю $0$ вместо $x$ в исходное уравнение (см. условие $y(0)=y_0$) и получаю, что $C_1 = y_0$.
В итоге, решение выглядит следующим образом:

$$ y(x) = {e^{-{\frac {x^2} {2}}}}\int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + y_0\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}} $$

Но. Как тут найти асимптотическое решение? Пытался разложить по формуле $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ , однако ничего кроме как не берущегося интеграла и интеграла под знаком интеграла не получил. Подробно описал процесс решения, вдруг там есть ошибки, но, как мне кажется, всё верно. Как тут можно получить 1-2 члена асимптотической формулы - не понимаю, в этом и вся проблема. Подскажите, пожалуйста.

[ewert]

Saitoa в сообщении #970818 писал(а):

$$ y(x) = {e^{-{\frac {x^2} {2}}}}\int_{0}^{x} {e^{\frac {t^2} {2}}}{Sint}\, {dt} + y_0\cdot{e^{-{\frac {x^2} {2}}}} $$

(никакой теории не помню) Внесите внешнюю экспоненту под знак интеграла и объедините с внутренней. Получится в первом приближении экспонента с линейным выражением, начиная от верхнего предела. Которая, если проигнорировать хвосты на бесконечности, даст после интегрирования с синусом нечто вполне определённое.

[ex-math]

Да, пожалуй можно начать с замены $t=x(1-u)$. Когда будете заменять показатель на линейную функцию, для оценки точности такой замены запишите ошибку в виде интеграла от разности точной и приближенной функций, и возьмите по частям, так чтобы иксы шли в знаменатель. Авось что и получится.

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Синус набирается так: \sin.

[ex-math]

Можно вот как сделать:

$$\int_0^xe^{\frac {t^2}2}\sin tdt=\sqrt{e}\,\mathrm {Im}\int_0^xe^{\frac {(t+i)^2}2}dt. $$

Потом записать этот интеграл по другому пути -- через точки $-i $, $x-i $. В итоге останется константа типа $\mathrm {erf}(1) $ и интеграл вида

$$\int_0^1e^{-\frac {y^2}2}\cos xydy, $$

асимптотика которого легко считается интегрированием по частям.

[Saitoa]

ex-math, спасибо, теперь разобрался
Aritaborian, в следующий раз учту) что-то про правильную запись синуса не подумал