2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О центроидах множества точек
Сообщение30.01.2015, 08:21 


20/12/14
42
Заинтересовался, какие существуют варианты центроидов распределения точек,
кроме общеизвестного центра масс?

Пока самое общее, что нашёл - это [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Fréchet_mean] средние Фреше
[/url]
Они включают в себя и центр масс (минимум суммы квадратов расстояний),
и геометрическую медиану (минимум суммы расстояний).

Возможны ли иные нетривиальные определения?

Вот что сам придумал. Пусть, как и в статье, $x_i$ - $N$ точек, $p$ - искомый центр, $d(p, x_i)$ - метрика расстояний. Не будем торопиться с суммированием всех расстояний, а посмотрим на массив $d_i$ со статистической точки зрения.
Самое очевидное - это найти дисперсию (по несмещённой оценке):
$$D=\frac{1}{n-1} \left(  \sum\limits_{i=1}^N d_i^2 - \frac{1}{n} \left( \sum\limits_{i=1}^N d_i \right)^2 \right)$$
и минимизировать её.
Нигде такого подхода не нашёл. Численно центр находится быстро, оптимизация сходится однозначно.

Любопытный факт. Предположим, точки распределены по окружности, но не равномерно, а где-то гуще, где-то реже. Центр масс и медиана будут тяготеть к местам сгущения. А центроид наименьшей дисперсии расстояний, разумеется, всегда будет в центре окружности.

Хотелось бы всё же знать, упоминается ли где-то подобный центроид; какие еще нетривиальные центроиды можно получить из массива $d_i$?

И насколько верна моя догадка, что при увеличении количества N случайных точек в ограниченной области все центроиды будут стремиться к центру масс?

 Профиль  
                  
 
 Re: О центроидах множества точек
Сообщение30.01.2015, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Центроидов можно придумать сколько угодно. Есть такая энциклопедия центров треугольника, там тысячи их; некоторые можно обобщить на произвольное число точек. Ваш, например - это в каком-то смысле обобщение центра описанной окружности (хотя и довольно неочевидное).
При увеличении количества точек центроиды будут стремится куда хотите, в зависимости от того, как Вам угодно будет определить слово "центроид". Вот, например, три точки; возьмём их центр масс и ещё какой-нибудь другой центроид. Они зримо различаются. Теперь возьмём 3000 точек: 1000 из них совпадают друг с другом и с первой из тех трёх, 1000 - со второй, и 1000 - с третьей. Где будут центроиды? Да там же, где и были. Стремятся ли они куда-то? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: О центроидах множества точек
Сообщение30.01.2015, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1797
denny в сообщении #971038 писал(а):
Любопытный факт. Предположим, точки распределены по окружности, но не равномерно, а где-то гуще, где-то реже. Центр масс и медиана будут тяготеть к местам сгущения. А центроид наименьшей дисперсии расстояний, разумеется, всегда будет в центре окружности.

Это как? Возьмём, к примеру, две точки, "лежащие на единичной окружности": $(1,0)$ и $(0,1)$...

 Профиль  
                  
 
 Re: О центроидах множества точек
Сообщение30.01.2015, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Две мало.

 Профиль  
                  
 
 Re: О центроидах множества точек
Сообщение30.01.2015, 13:31 


20/12/14
42
Да спасибо, идея обобщить центры треугольника
очень плодотворная.
А насчет увеличения числа точек - имелось в виду
достаточно равномерное распределение.
Например, удовлетворяющее критерию "low discrepancy"
из одноимённой статьи в Wiki.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group