О центроидах множества точек

[denny]

Заинтересовался, какие существуют варианты центроидов распределения точек,
кроме общеизвестного центра масс?

Пока самое общее, что нашёл - это [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Fréchet_mean] средние Фреше
[/url]
Они включают в себя и центр масс (минимум суммы квадратов расстояний),
и геометрическую медиану (минимум суммы расстояний).

Возможны ли иные нетривиальные определения?

Вот что сам придумал. Пусть, как и в статье, $x_i$ - $N$ точек, $p$ - искомый центр, $d(p, x_i)$ - метрика расстояний. Не будем торопиться с суммированием всех расстояний, а посмотрим на массив $d_i$ со статистической точки зрения.
Самое очевидное - это найти дисперсию (по несмещённой оценке):

$$D=\frac{1}{n-1} \left( \sum\limits_{i=1}^N d_i^2 - \frac{1}{n} \left( \sum\limits_{i=1}^N d_i \right)^2 \right)$$

и минимизировать её.
Нигде такого подхода не нашёл. Численно центр находится быстро, оптимизация сходится однозначно.

Любопытный факт. Предположим, точки распределены по окружности, но не равномерно, а где-то гуще, где-то реже. Центр масс и медиана будут тяготеть к местам сгущения. А центроид наименьшей дисперсии расстояний, разумеется, всегда будет в центре окружности.

Хотелось бы всё же знать, упоминается ли где-то подобный центроид; какие еще нетривиальные центроиды можно получить из массива $d_i$?

И насколько верна моя догадка, что при увеличении количества N случайных точек в ограниченной области все центроиды будут стремиться к центру масс?

[ИСН]

Центроидов можно придумать сколько угодно. Есть такая энциклопедия центров треугольника, там тысячи их; некоторые можно обобщить на произвольное число точек. Ваш, например - это в каком-то смысле обобщение центра описанной окружности (хотя и довольно неочевидное).
При увеличении количества точек центроиды будут стремится куда хотите, в зависимости от того, как Вам угодно будет определить слово "центроид". Вот, например, три точки; возьмём их центр масс и ещё какой-нибудь другой центроид. Они зримо различаются. Теперь возьмём 3000 точек: 1000 из них совпадают друг с другом и с первой из тех трёх, 1000 - со второй, и 1000 - с третьей. Где будут центроиды? Да там же, где и были. Стремятся ли они куда-то?

[Geen]

denny в сообщении #971038 писал(а):

Любопытный факт. Предположим, точки распределены по окружности, но не равномерно, а где-то гуще, где-то реже. Центр масс и медиана будут тяготеть к местам сгущения. А центроид наименьшей дисперсии расстояний, разумеется, всегда будет в центре окружности.

Это как? Возьмём, к примеру, две точки, "лежащие на единичной окружности": $(1,0)$ и $(0,1)$...

[ИСН]

Две мало.

[denny]

Да спасибо, идея обобщить центры треугольника
очень плодотворная.
А насчет увеличения числа точек - имелось в виду
достаточно равномерное распределение.
Например, удовлетворяющее критерию "low discrepancy"
из одноимённой статьи в Wiki.