Энергия и принцип относительности.

[мат-ламер]

Cos(x-pi/2) в сообщении #967907 писал(а):

Вы здесь разбираете довольно простую учебную задачку, неплохую для знакомства с СТО.

Я сначала не понял, причём тут СТО. В движущемся аккумуляторе возникают дополнительные электрические токи (заряды то движутся) и соотв. им магнитное поле. Отсюда его ёмкость увеличивается (в покоящейся СО).

[Munin]

мат-ламер в сообщении #968775 писал(а):

Я сначала не понял, причём тут СТО. В движущемся аккумуляторе возникают дополнительные электрические токи (заряды то движутся) и соотв. им магнитное поле.

Чтобы всё это учесть, можно либо возиться с деталями, либо взять "брутто" формулу из СТО, и она сразу даст окончательный ответ.

мат-ламер в сообщении #968775 писал(а):

Отсюда его ёмкость увеличивается (в покоящейся СО).

Под "ёмкостью" аккумулятора понимают разные вещи. Лучше выражаться точнее: увеличивается энергия.

[С.Мальцев]

Исходя из принципа относительности, количество излученных, а, соответственно, и падающих фотонов (с момента включения до момента выключения излучателя), не должно изменяться при переходах из одной ИСО в другую. Точно так же не должно изменяться и количество периодов ЭМ волн. В таком случае, полагаю, что оба варианта правильные – при изменении частоты излучаемого сигнала одним и тем же излучателем, энергия, затраченная на излучение каждого периода волны изменяется пропорционально изменению энергии фотона. А вот при различных скоростях движения излучателя, когда благодаря фактору замедления времени в $\gamma$ раз уменьшается частота излучаемого сигнала, энергия, затраченная на излучение каждого периода волны, есть величина постоянная, не зависящая от ее длины.

Далее, если рассматривать ЭМ излучение как имеющие длину волны, то увязать такое представление с точечными фотонами совсем непросто. Но, если рассматривать период очень узкого сегмента волны только в определенном направлении (по оси), то, пожалуй, такой «пиксель» вполне возможно себе представить.

При различных скоростях движения облучаемого объекта относительно излучателя, изменяется частота принимаемой ЭМ волны, она либо догоняет, либо движется навстречу облучаемому объекту. Соответственно изменяется и энергия падающего фотона при одной и той же энергии, затраченной на его излучение, причем, энергия изменяется в соответствии с формулами эффекта Доплера. Чтобы каждый раз не ссылаться на формулы, введем коэффициент $\beta=\sqrt{\tfrac{1+v}{1-v}}$. Тогда энергия падающего фотона увеличивается либо уменьшается в $\beta$ раз в зависимости от направления движения облучаемого объекта. Кроме того, чтобы не путаться, поскольку «полезная» энергия затрачиваемая на излучение фотона $z$ и энергия падения $q$ в общем случае различны, обозначим их различными буквами.

Поскольку в предложенном мысленном эксперименте для ускорения частиц до скорости $v$ используется одно и то же $n$-ное количество периодов излучения, общие затраты энергии излучателя на ускорение составляет $Z=nz$, суммарное количество энергии падения фотонов на ускоряемую частицу, обозначим $Q$.

Рассмотрим процесс ускорения частицы с нулевой до заданной скорости $v$ с помощью ЭМ излучения постоянной частотой $\nu$ от покоящегося излучателя. В таком случае, энергия падения первого фотона составляет $q_1=z$. Далее, по мере увеличения скорости частиц, фотонам приходится догонять частицы. При этом частота принимаемого сигнала падает в $\beta$ раз, как и энергия падающих фотонов. Т.е. энергия последнего падающего фотона при достижении частицей заданной скорости $v$), должна уменьшиться $q_n= \tfrac q {\beta}$.

Теперь рассмотрим процесс ускорения в противоположном направлении (замедления скорости) этой же частицы, движущейся с заданной скоростью $v$. Частица 1 изначально покоится относительно движущегося с заданной скоростью $v$ излучателя. Энергия последнего фотона $q_n'$, падающего на уже покоящуюся относительно лабораторной ИСО частицу 1, должна быть в $\beta$ раз меньше, как и принимаемая частота от удаляющегося излучателя. Из принципа относительности следует, что в первый момент замедления скорости частицы 1, энергия первого падающего фотона должна составлять $q_1'=q$.

Таким образом, мы теперь можем смоделировать ту же ситуацию с замедлением скорости частицы 1, но теперь уже фотонами, излученными от покоящегося излучателя. Уменьшаем частоту излучаемого сигнала в $\beta$ раз, но поскольку теперь фотоны не догоняют, а во время всего торможения движутся навстречу частице, энергия первого падающего фотона составляет $q_1=q$, последнего в $\beta$ раз меньше $q_n=\tfrac q {\beta}$. Т.е. уменьшенная в $\beta$ раз частота излучателя компенсируется (увеличивается в $\beta$ раз с учетом замедления времени) движением частицы к излучателю.

При этом общее количество энергии падающих фотонов при ускорении движения частицы $Q$ и общее количество энергии падающих фотонов при замедлении скорости движения частицы $Q_1$ одинаково в каждом случае $Q_1=Q$. Общее количество «полезной» затраченной энергии покоящимся излучателем при ускорении движения частицы до заданной скорости $v$ составляет $Z$ и при замедлении скорости движения той же частицы $Z_1=\tfrac {Z}{\beta}$. Исходя из того, что вся затраченная на ускорение и замедление скорости движения частицы энергия должна соответствовать общей энергии падения, получаем $Z+Z_1=2Q$, откуда $Q=\tfrac {Z+Z_1}2=\tfrac {Z+\beta Z}{2\beta}$. Очевидно, что в данном случае, сумма затраченных покоящимися излучателями энергий меньше, чем $2Z$.

Аналогично рассмотрим процесс дальнейшего ускорения частицы 2, изначально движущейся с заданной скоростью $v$ относительно лабораторной ИСО, с помощью покоящегося излучателя до удвоенной заданной скорости $u=\tfrac {2v}{1+v^2}$. Увеличиваем частоту излучаемого сигнала в $\beta$ раз, но поскольку фотоны и теперь догоняют частицу 2, энергия первого падающего фотона составляет $q_1=q$, последнего в $\beta$ раз меньше $q_n=\tfrac q {\beta}$. Т.е. увеличенная в $\beta$ раз частота излучателя компенсируется (уменьшается в $\beta$ раз с учетом замедления времени) движением частицы от излучателя. Общее количество «полезной» затраченной энергии покоящимся излучателем при ускорении движения частицы до заданной скорости $v$ составляет $Z$ и при дальнейшем увеличении скорости движения той же частицы $Z_2=\beta Z$.

Рассмотрим отношение общих затрат энергии $Z_1=\tfrac {Z}{\beta}$ на замедление скорости частицы 1 и общих затрат энергии $Z_2=\beta Z$ на дальнейшее ускорение частицы 2 к общим затратам энергии $2Z$ на ускорение обеих частиц до заданной скорости $v$:

$$\frac {Z_1+Z_2}{2Z}=\frac {\frac {Z}{\beta}+\beta Z}{2Z}=\frac {\frac {Z(1-v)+Z(1+v)}{\sqrt{1-v^2}}}{2Z}=\frac {\frac {2Z}{\sqrt{1-v^2}}}{2Z}=\frac 1{\sqrt{1-v^2}}=\gamma$$

Получается, что для покоящихся относительно лабораторной ИСО излучателей необходимо затратить в $\gamma$ раз больше энергии для достижения частицами скорости $w=v$ (относительно движущейся со скоростью $v$ ИСО'), чем для достижения ими скорости $v$ относительно лабораторной ИСО.

Означает ли полученный результат то, что затраченная энергия движущимися излучателями должна тоже вырасти в $\gamma$ раз? В моем представлении – нет, не означает.

Согласно принципу относительности, частота излучаемых движущимися излучателями ЭМ волн должна падать в $\gamma$ раз $\nu'=\nu \sqrt{1-v^2}$ из-за фактора замедления времени. Но, поскольку в одном случае сам излучатель движется со скоростью $1+v$ относительно излученных фотонов, в другом случае со скоростью $1-v$, частота принимаемых покоящимся относительно лабораторной ИСО приемником ЭМ волн изменяется в $\beta$ раз. Что само по себе никоим образом не указывает на то, что затрачиваемая движущимися излучателями энергия должна увеличиться.

Кроме того, общая энергия падающих фотонов составляет $Q$ для замедляющейся со скорости $v$ до нуля частицы 1, и та же энергия $Q$ для ускоряющейся со скорости $v$ до скорости $u$ частицы 2. Что тоже не свидетельствует в пользу увеличения затрачиваемой энергии движущимися излучателями. С точность до наоборот – это покоящиеся излучатели должны затратить в $\gamma$ раз больше энергии чем движущиеся, для достижения тех же результатов.

Выходит, что согласно принципу относительности (вопреки устоявшемуся мнению), затрачиваемая энергия в движущейся ИСО' при тех же вводных равна затрачиваемой энергии в покоящейся ИСО. Получается, что нет никаких оснований для утверждений об увеличении энергии распада движущихся частиц. При неизменной их массе инерция растет, а энергия распада остается той же.

По-моему так.

[С.Мальцев]

Munin в сообщении #967668 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #964612 писал(а):

Очевидно, что и для остановки частицы 1 необходимо затратить точно такое же количество энергии $\Delta T_1=0{,}(6)$.

"Очевидно", но неверно.

Вы правы.

Как видно из основанного на принципе относительности мысленного эксперимента, энергии $Z_1$ для остановки частицы нужно затратить в $\beta$ раз меньше, чем той энергии $Z$, которую необходимо затратить для ее ускорения. В таком случае, если затраченная на ускорение частицы энергия соответстыует $Z=\tfrac m{\sqrt{1-v^2}}-m$, то кинетическая энергия $T$ движущейся частицы должна составлять:

$$T=\frac Z{\beta}=m\frac {1-\sqrt{1-v^2}}{1+v}$$

Так?

[мат-ламер]

С.Мальцев в сообщении #970850 писал(а):

Выходит, что согласно принципу относительности (вопреки устоявшемуся мнению), затрачиваемая энергия в движущейся ИСО' при тех же вводных равна затрачиваемой энергии в покоящейся ИСО. Получается, что нет никаких оснований для утверждений об увеличении энергии распада движущихся частиц

Предлагаю рассмотреть вопрос с автомобилем (пусть с массой 1000 кг). Пусть в покоящейся СО он разгоняется от нуля до 10 м/сек. Сколько надо энергии, чтобы его разогнать? Теперь рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль за то же время разгоняется с 10 м/сек до 20 м/сек. Сколько надо энергии для этого? И откуда она взялась лишняя энергия, если бензин тот же самый?

[С.Мальцев]

мат-ламер в сообщении #973684 писал(а):

Предлагаю рассмотреть вопрос с автомобилем (пусть с массой 1000 кг). Пусть в покоящейся СО он разгоняется от нуля до 10 м/сек. Сколько надо энергии, чтобы его разогнать? Теперь рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль за то же время разгоняется с 10 м/сек до 20 м/сек. Сколько надо энергии для этого? И откуда она взялась лишняя энергия, если бензин тот же самый?

Так в том-то всё и дело, что бензин тот же самый, как и тот же самый его расход (емкость бака та же). Хотя, в предыдущем сообщении:

мат-ламер в сообщении #968775 писал(а):

В движущемся аккумуляторе возникают дополнительные электрические токи (заряды то движутся) и соотв. им магнитное поле. Отсюда его ёмкость увеличивается (в покоящейся СО).

Вы меня уверяли, что и ёмкость бака де должна увеличиться, и бензин, видимо, как-то по особому должен сгорать... Попробуйте перейти в СО, движущуюся не назад, а вперед со скоростью 10 м/сек. (чем она хуже?). Тогда и бак окажется той же емкости, да и бензин сгорит как надо.

Собственно, уже указывал на то, что представление об увеличении энергии заряда в движущейся ИСО контрпродуктивно, т.к. элементарно противоречит логике:

С.Мальцев в сообщении #967776 писал(а):

Можно поступить еще проще – пусть у каждого излучателя свой собственный источник питания с вдвое меньшей энергией заряда. Для покоящихся относительно лабораторной ИСО излучателей безразлично, а для движущихся? В направлении частицы 2 дефицит энергии, а в направлении частицы 1 – профицит?

Да и приведенная Вами аналогия не совсем уместна – мы ведь в предложенной задаче рассматриваем расход энергии для ускорения/замедления частиц покоящимися относительно лабораторной ИСО излучателями. Вроде бы, действительно:

profrotter в сообщении #967974 писал(а):

рассматривается стандартный учебный вопрос

рассматривается простая учебная задача. Тем не менее, (у меня, во всяком случае) возникают некоторые вопросы, например – что такое полная энергия $E$, которая $E=\tfrac m {\sqrt{1-v^2}}$ и кинетическая энергия $T$, которая $T=\tfrac m {\sqrt{1-v^2}}-m$?

Поясню, в чем тут вижу проблему. Представим, что относительно лабораторной ИСО движется частица массой $m$ со скоростью $u$. Допустим, что для ускорения данной частицы с нуля до скорости $u$, в лабораторной ИСО необходимо затратить количество энергии $Z_{(u)}=\tfrac m{\sqrt{1-u^2}}-m$. Тогда, как уже сообщалось:

С.Мальцев в сообщении #972341 писал(а):

энергии $Z_1$ для остановки частицы нужно затратить в $\beta$ раз меньше, чем той энергии $Z$, которую необходимо затратить для ее ускорения.

Что и неудивительно, т.к. по мере уменьшения скорости, падает инерция частицы, отчего затраты энергии дополнительно падают (тогда выходит, что инерция и есть та самая $E$, которая $E=\tfrac m {\sqrt{1-v^2}}$?). Получается, что останавливая данную частицу, «скачать» всю энергию $T=\tfrac m{\sqrt{1-u^2}}-m$ не удастся, только некоторую ее часть (при $ Z_{(u)}=T$):

$$Z_{1(u)}=\frac {Z_{(u)}}{\beta_{(u)}}=m\frac {1-\sqrt{1-u^2}}{1+u}\ \eqno (2.1)$$

Теперь рассмотрим, действительно ли для ускорения данной частицы до скорости $u$, в лабораторной ИСО необходимо затратить количество энергии $Z_{(u)}=\tfrac m{\sqrt{1-u^2}}-m$? Казалось бы – странный вопрос, ведь мы приняли, что именно эта энергия необходима для ускорения данной частицы до скорости $u$. Но не всё так просто.

Представим, что данная частица ускорялась в два этапа – сначала до скорости $v$, которая вдвое меньше скорости $u$. Из формулы релятивистского сложения скоростей $u=\tfrac {2v}{1+v^2}$, получаем формулу деления скорости на два:

$$v=\frac{1-\sqrt{1-u^2}} u \ \eqno (2.2)$$

Получив промежуточную скорость $v$, находим количество энергии, затраченной на ускорение/замедление частиц 1 и 2 в предыдущей задаче:

$Z=\tfrac m{\sqrt{1-v^2}}-m$

$Z_1=\tfrac {Z}{\beta}$

$Z_2=\beta Z$

Сложив всю затраченную энергию, получаем кинетическую энергию $Z_{(u)}=T$ данной частицы, движущейся со скоростью $u$:

$$2Z+ Z_1+ Z_2= Z_{(u)}= \tfrac m{\sqrt{1-u^2}}-m \ \eqno (2.3)$$

Вроде бы всё верно, общее количество затраченной энергии соответствует кинетической энергии частицы, движущейся со скоростью $u$. Но, в предыдущей задаче рассматривалось ускорение/замедление двух частиц, и часть энергии $Z+Z_1$ была затрачена на бессмысленное (с точки зрения решения данной задачи) ускорение+замедление частицы 1, а на ускорение частицы 2 с нуля до скорости $v$ и повторное ускорение до скорости $u$ была затрачена лишь часть энергии $Z+Z_2$. Очевидно, что $Z+Z_2< Z_{(u)}$.

Но и это еще не всё. Мы приняли, что теперь $Z=\tfrac m{\sqrt{1-v^2}}-m$. Как выяснилось – и это не совсем верно. Можем снова, воспользовавшись формулой (2.2), найти следующую промежуточную скорость, вычислить количество затраченной на ускорение частицы 2 энергии, и снова окажется, что затраты энергии на ее ускорение меньше ее кинетической энергии при скорости $v$.

Означает ли это, что выбрав «экономный» режим расхода энергии, можно ускорить частицу до скорости $u$ с меньшими затратами энергии, чем $T=\tfrac m{\sqrt{1-u^2}}-m$?

Уже можно отвечать, да. Это же стандартная учебная задача.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #975055 писал(а):

Означает ли это, что выбрав «экономный» режим расхода энергии, можно ускорить частицу до скорости $u$ с меньшими затратами энергии, чем $T=\tfrac m{\sqrt{1-u^2}}-m$?

Нет. Закон сохранения энергии не позволяет.

[мат-ламер]

С.Мальцев в сообщении #975055 писал(а):

Вы меня уверяли, что и ёмкость бака де должна увеличиться, и бензин, видимо, как-то по особому должен сгорать...

Насчёт сгорания безусловно. Энергия паров сгоревшего бензина разная в разных СО. Ёмкость бака не изменится. Я ничего такого не говорил.

[Cos(x-pi/2)]

С.Мальцев в сообщении #975055 писал(а):

мат-ламер в сообщении #973684 писал(а):

Предлагаю рассмотреть вопрос с автомобилем (пусть с массой 1000 кг). Пусть в покоящейся СО он разгоняется от нуля до 10 м/сек. Сколько надо энергии, чтобы его разогнать? Теперь рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль за то же время разгоняется с 10 м/сек до 20 м/сек. Сколько надо энергии для этого? И откуда она взялась лишняя энергия, если бензин тот же самый?

Так в том-то всё и дело, что бензин тот же самый, как и тот же самый его расход (емкость бака та же).

Не, не. Сначала разберитесь с ещё более простым вопросом:

Пусть в покоящейся СО автомобиль с массой 1000 кг всё время покоится; бак пуст; энергия $mv^2/2=0.$ Теперь рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль имеет скорость 10 м/сек, и, значит, он имеет энергию $mv^2/2=1000 \cdot 10^2/2=50000\,\, \text{Дж}.$ Вопрос: откуда у него взялась эта энергия.

[С.Мальцев]

Cos(x-pi/2) в сообщении #975102 писал(а):

Пусть в покоящейся СО автомобиль с массой 1000 кг всё время покоится; бак пуст; энергия $mv^2/2=0.$ Теперь рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль имеет скорость 10 м/сек, и, значит, он имеет энергию $mv^2/2=1000 \cdot 10^2/2=50000\,\, \text{Дж}.$ Вопрос: откуда у него взялась эта энергия.

Не, чего там мелочиться, подумаешь – какой-то там покоящийся автомобиль. Лучше, выпав со второго этажа, быстренько подсчитать – в момент касания Земля ($M=5{,}976\cdot 10^{24}\,\, \text{кг}$) ка-а-к долбанет всей своей энергией – порядка 300 иоттаджоулей, ага!

мат-ламер в сообщении #975071 писал(а):

Насчёт сгорания безусловно. Энергия паров сгоревшего бензина разная в разных СО.

Неужели Вы хотите сказать, что энергия сгорания паров бензина может зависеть от того, стоишь ли рядом с автомобилем или проезжаешь мимо на велосипеде?

Если Вы о движении сгорающих паров с околосветовой скоростью, то, конечно – время замедляется, согласно принципу относительности и процесс сгорания паров должен замедлиться. Та же полученная энергия, только за больший промежуток времени с точки зрения покоящихся наблюдателей.

мат-ламер в сообщении #975071 писал(а):

Ёмкость бака не изменится.

Ну, при околосветовых скоростях должна измениться – уменьшиться из-за сокращения атомов.

Munin в сообщении #975064 писал(а):

С.Мальцев в сообщении #975055 писал(а):

Означает ли это, что выбрав «экономный» режим расхода энергии, можно ускорить частицу до скорости $u$ с меньшими затратами энергии, чем $T=\tfrac m{\sqrt{1-u^2}}-m$?

Нет. Закон сохранения энергии не позволяет.

Так что, на принципе относительности можно ставить крест, раз уж $Z_{(v)}+Z_{2(v)}< Z_{(u)}$ ?

Если покоящийся излучатель, затратив количество энергии $Z_{2(v)}=\beta_{(v)} Z_{(v)}$ не сможет ускорить частицу от скорости $v$ до скорости $u$, то и движущийся со скоростью $v$ излучатель тоже не сможет. Ведь, при решении задачи было полностью имитировано излучение от движущегося излучателя покоящимся излучателем. А ускоряемой частице должно быть безразлично, каким именно излучателем эти фотоны излучены (движущимся или покоящимся), если их энергия одинакова.

[Pulseofmalstrem]

С.Мальцев
Никак нет! Принцип относительности вовсе не обязывает энергии одного и того же процесса одинаковыми. Он говорит, что все явление протекают одинаково во всех ИСО, то есть описываются одинаковыми законами, однако цифири в уравнения подставляются уже в зависимости от СО. Почитайте ФЛФ там очень красочно про энергию и импульс расписано в первых главах, я лично еще никогда не сталкивался с настолько творческим подходом к объяснению данной темы.

[Munin]

С.Мальцев в сообщении #975553 писал(а):

Так что, на принципе относительности можно ставить крест, раз уж $Z_{(v)}+Z_{2(v)}< Z_{(u)}$ ?

Нет. Работают и принцип относительности, и закон сохранения энергии. А что вы их не умеете применять - не их проблема.

[Cos(x-pi/2)]

С.Мальцев

С.Мальцев в сообщении #975553 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #975102 писал(а):

Пусть в покоящейся СО автомобиль с массой 1000 кг всё время покоится; бак пуст; энергия $mv^2/2=0.$ Теперь рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль имеет скорость 10 м/сек, и, значит, он имеет энергию $mv^2/2=1000 \cdot 10^2/2=50000\,\, \text{Дж}.$ Вопрос: откуда у него взялась эта энергия.

Не, чего там мелочиться, подумаешь – какой-то там покоящийся автомобиль. Лучше, выпав со второго этажа, быстренько подсчитать – в момент касания Земля ($M=5{,}976\cdot 10^{24}\,\, \text{кг}$) ка-а-к долбанет всей своей энергией – порядка 300 иоттаджоулей, ага!

В старину в таких случаях говорили: "ты слишком много о себе понимаешь!" Неужели Вы действительно думаете, что налетевшая на Вас Земля долбанёт Вас

Цитата:

всей своей энергией

то бишь Земля от столкновения с Вами остановится?

Не-е-е, батенька. Несмотря на пришмякнувшегося к её поверхности выпаденца-экспериментатора, Земля как ни в чём не бывало продолжит мчаться практически с прежней скоростью. А это значит, что только ничтожная доля её первоначальной энергии пойдёт на деформацию и разогрев прилепившегося к ней тела.

Для ясности давайте подробно в двух разных системах отсчёта подсчитаем подобную передачу энергии при неупругом столкновении двух тел.

1) Сначала рассмотрим столкновение в системе покоя тела с массой $M$, когда на него налетает тело с массой $m$ со скоростью $v_1,$ равной для примера 10 м/c. Поскольку эта скорость мала по сравнению со скоростью света, то решаем задачу по формулам нерелятивистской механики.

Здесь. кин. энергия тела $M$ перед столкновением равна нулю (а энергией грав. взаимодействия обоих тел друг с другом пренебрегаем, она не изменится заметно при столкновении), поэтому суммарная кин. энергия системы в этом начальном состоянии запишется так:

$E_{\text{нач}}=0+\dfrac{mv_1^2}{2}$ .

Аналогично, суммарный импульс системы в начальном состоянии:

$P_{\text{нач}}=0+mv_1$ .

После неупругого столкновения оба тела слиплись и движутся как одно тело с суммарной массой $M+m$ с пока неизвестной нам скоростью $v_2.$ Поскольку часть начальной энергии должна была пойти на деформацию и разогрев столкнувшихся тел, то энергию этого конечного состояния системы надо записать так:

$E_{\text{кон}}=\dfrac{(M+m)v_2^2}{2}+Q$ ,

где $Q$ - энергия, которая пошла на деформацию и разогрев. (Можно сказать, что эта энергия "долбанула" тела, сломав кое-какие кости и как-то повредив асфальт).

Импульс конечного состояния:

$P_{\text{кон}}=(M+m)v_2$ .

Согласно законам сохранения энергии и импульса имеем два уравнения: $E_{\text{нач}}=E_{\text{кон}}$ и $P_{\text{нач}}=P_{\text{кон}},$ то есть:

$\frac{mv_1^2}{2}=\frac{(M+m)v_2^2}{2}+Q$ ,
$mv_1=(M+m)v_2$ .

Из второго уравнения находим выражение для скорости тел после столкновения $v_2$ через заданные $m,$ $M$ и $v_1$:

$v_2=v_1\dfrac{m}{M+m}$ ,

и тогда из первого уравнения в итоге находим "энергию долбанутия" $Q$:

$Q=\dfrac{1}{2}v_1^2 \dfrac{mM}{M+m}$ .

Полезно заметить, что в этот ответ для $Q$ массы обоих тел вошли симметрично. Из этих формул видно также, что при $M \gg m$ скорость тел в данной СО после столкновения приблизительно равна нулю ($v_2 \approx 0$) и при этом энергия $Q$ приблизительно равна кин. энергии лёгкого тела до столкновения; в пределе с $M \to \infty$ эти приближённые равенства становятся точными.


2) Теперь рассмотрим то же самое столкновение в системе покоя тела с массой $m$ (когда на него налетает тело с массой $M$ со скоростью $v_1$). Законы сохранения энергии и импульса запишутся как и выше, только в них поменяются местами $m$ и $M$. Обозначив энергию, переданную на деформацию и разогрев, снова буквой $Q$, а скорость слипшихся тел - снова буквой $v_2,$ имеем в этой СО два уравнения:

$\frac{Mv_1^2}{2}=\frac{(M+m)v_2^2}{2}+Q$ ,
$Mv_1=(M+m)v_2$ .

Решение имеет вид, подобный предыдущему, только с перестановкой местами $m$ и $M:$

$v_2=v_1\dfrac{M}{M+m}$ ,

$Q=\dfrac{1}{2}v_1^2 \dfrac{mM}{M+m}$ .

Как видим, "энергия долбанутия" не поменялась.

Так что, в этой СО при $M \gg m$ по прежнему $Q \approx mv_1^2/2;$ скорость же тел в данной СО после столкновения $v_2 \approx v_1,$ т.е. тяжёлое тело (с пришмякнувшимся к нему лёгким) продолжает мчаться практически с начальной скоростью. Всё так, как и следовало ожидать.

[С.Мальцев]

Cos(x-pi/2) в сообщении #975703 писал(а):

Так что, в этой СО при $M \gg m$ по прежнему $Q \approx mv_1^2/2;$

Само собой разумеется. Вообще, поражаюсь Вашему долготерпению для столь подробного разбора, сразу чуствуется преподавательская косточка.

Cos(x-pi/2) в сообщении #975703 писал(а):

В старину в таких случаях говорили: "ты слишком много о себе понимаешь!" Неужели Вы действительно думаете, что налетевшая на Вас Земля долбанёт Вас

Цитата:

всей своей энергией

то бишь Земля от столкновения с Вами остановится?

Вообще-то надеялся, что вот этими словами:

С.Мальцев в сообщении #975553 писал(а):

ка-а-к ..., ага!

вполне достаточно передал всю свою иронию и сарказм. Собственно, этим примером всего лишь хотел показать полную бессмысленность и абсурдность подобных вопросов:

мат-ламер в сообщении #973684 писал(а):

рассмотрим СО, движущуюся назад со скоростью 10 м/сек. Тогда в этой СО автомобиль за то же время разгоняется с 10 м/сек до 20 м/сек. Сколько надо энергии для этого? И откуда она взялась лишняя энергия, если бензин тот же самый?

В данном случае, (по аналогии) впору было бы спросить – а куда же девались все эти 300 иоттаджоулей энергии? Только что, в последний момент все эти 300 иоттаджоулей энергии со скоростью 10 м/сек неслись на выпаденца-экспериментатора, тут шмяк – всего каких-то 5 килоджоулей, и всё по нулям. Бессмыслица получается.

[С.Мальцев]

Не, можно, конечно, попытаться придать как бы некоторую осмысленность заявлением – мол, никуда эти иоттаджоули не делись. Земля продолжает двигаться с той же скоростью 10 м/сек относительно мгновенно сопутствующей ИСО, относительно которой покоился горе-экспериментатор в момент приземления. Т.е. относительно уже никого не интересующей ИСО, т.к. весь интерес к ней как раз и был связан только с моментом приземления.

Таким манером можно и еще дальше пойти, заявив, например, что энергия Земли после приземления горе-экспериментатора постоянно продолжает увеличиваться с точки зрения той ускоренной СО, относительно которой он покоился с момента выпадения до самого приземления. А смысл?