Ограниченность оператора.

[Dan B-Yallay]

Показать ограниченность оператора $ A: L_2(0, \infty) \rightarrow L_2(0, \infty)$

$$A f(t) = \int\limits_0^t e^{s-t} f(s)ds$$

Пытаясь оценить норму $||Af(t)||_{L_2(0, \infty)}$ получаю следующее

$$||Af(t)||_{L_2(0, \infty)} = \left( \int\limits_0^{\infty} \left | \int\limits_0^t e^{s-t} f(s)ds \right |^2 dt \right)^{1/2}= \left ( \int\limits_0^{\infty} e^{-2t} \left| \int\limits_0^t e^s f(s)ds \right|^2 dt \right)^{1/2} $$

и дальше упираюсь в тупик. При любой попытке оценить внутренний интеграл с помощью неравенств Гельдера или Йенсена, натыкаюсь на взаимную "нейтрализацию" двух экспонент $e^{-t}$ и $e^s$, после чего в лучшем случае получаю интеграл от константы вдоль $(0, \infty)$ что не есть хорошо. Я вообще не уверен что $A f(t) $ - суммируемая с квадратом функция для любой $f(t) \in {L_2(0, \infty)}$, но контрпримера пока не нашел.

[V.V.]

Примените преобразование Лапласа и попытайтесь доказать, что оно переводит $L_2(0,+\infty)$ в $L_2(0,+\infty)$.

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

Пытаясь оценить норму $||Af(t)||_{L_2(0, \infty)}$ получаю следующее

$$||Af(t)||_{L_2(0, \infty)} = \left( \int\limits_0^{\infty} \left | \int\limits_0^t e^{s-t} f(s)ds \right |^2 dt \right)^{1/2}= \left ( \int\limits_0^{\infty} e^{-2t} \left| \int\limits_0^t e^s f(s)ds \right|^2 dt \right)^{1/2} $$

$ \le\left ( \int\limits_0^{\infty}\int\limits_0^t e^{2s-2t} f^2(s)dsdt \right)^{1/2} $ $=\left ( \int\limits_0^{\infty}\int\limits_s^\infty e^{2s-2t} f^2(s)dtds \right)^{1/2}=$ $ \left(\int\limits_0^\infty e^{2s}f^2(s)\int\limits_s^\infty e^{-2t}dtds\right)^{1/2}= $ $ \frac1{\sqrt{2}}\left(\int\limits_0^\infty f^2(s)ds\right)^{1/2}=\frac1{\sqrt{2}}||f|| $

$$ ||A||\le\frac1{\sqrt{2}} $$

разбивайте, пожалуйста, длинные формулы. // нг

[Dan B-Yallay]

Так просто и в голову не приходило ... Спасибо

[Dan B-Yallay]

Так. Теперь вопрос о нахождении спектра а именно точечного спектра этого оператора.

$$\lambda f(t) = \int\limits_0^t e^{s-t} f(s) ds$$

Так как в правой части стоит интеграл от произведения двух измеримых функций, то слева- абсолютно непрерывная функция, имеющая производную.

$$\lambda \frac d {dt} f(t) = \frac d {dt} \left( \int\limits_0^t e^{s-t} f(s) ds \right) $$ $$ =\left( \frac d {dt} t \right) e^{(t-t)} f(t) + \int\limits_0^t \frac d {dt} e^{s-t} f(s) ds$$ $$ = f(t) - \int\limits_0^t e^{s-t} f(s) ds = f(t) - \lambda f(t)$$

далее получаем

$$ \lambda \frac d {dt} f(t) = f(t)(1- \lambda)$$ $$ \frac {f'(t)} {f(t)} = \frac {1- \lambda} {\lambda} $$ $$ \int\limits_0^T \frac {f'(t)} {f(t)} dt = \frac {1- \lambda} {\lambda} T+ C$$ $$ ln (f(T)) = \frac {1- \lambda} {\lambda} T + C_0 $$ $$ f(t) = C_0 e^{\frac {1- \lambda} {\lambda}t}$$

Так как множество лямбд получается непрерывным - ясно что где-то ошибка. Да и если подставить полученную функцию под оператор, исходное равенство не получается.
Где я чего натворил?

[V.V.]

Вот и получается, что спектр пустой.

Впрочем, в этом легко убедиться, совершив над интегральным уравнением преобразование Лапласа. Получится уравнение
$\lambda F(p)=\frac{1}{p+1}F(p)$. Вопрос на засыпку: при каких $\lambda$ это уравнение имеет нетривиальные решения?

[Dan B-Yallay]

Henrylee писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Пытаясь оценить норму $||Af(t)||_{L_2(0, \infty)}$ получаю следующее

$$||Af(t)||_{L_2(0, \infty)} = \left( \int\limits_0^{\infty} \left | \int\limits_0^t e^{s-t} f(s)ds \right |^2 dt \right)^{1/2}= \left ( \int\limits_0^{\infty} e^{-2t} \left| \int\limits_0^t e^s f(s)ds \right|^2 dt \right)^{1/2} $$

$$ \le\left ( \int\limits_0^{\infty}\int\limits_0^t e^{2s-2t} f^2(s)dsdt \right)^{1/2} $$

Кстати, это неверно.

$$ \left | \int\limits_0^t \phi (s)ds \right|^2 $$

может быть как больше так и меньше чем

$$ \int\limits_0^t |\phi (s)|^2 ds $$

.

Например:

$$ \left | \int\limits_0^5 1 ds \right|^2 = 25 > 5 = \int\limits_0^5 |1|^2 ds $$

Поэтому оказываюсь опять на шаге 1.

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

V.V. писал(а):

Вот и получается, что спектр пустой.

Впрочем, в этом легко убедиться, совершив над интегральным уравнением преобразование Лапласа. Получится уравнение
$\lambda F(p)=\frac{1}{p+1}F(p)$. Вопрос на засыпку: при каких $\lambda$ это уравнение имеет нетривиальные решения?

При $\lambda =\frac{1}{p+1}$. То есть константой не является.

[shwedka]

V.V. писал(а):

Вот и получается, что спектр пустой.

простите, но точка ноль - точка существенного спектра, как и для любого оператора Вольтерра.
да и вообще, ограниченных операторов без спектра не бывает.

[Henrylee]

Dan B-Yallay писал(а):

Кстати, это неверно.

$$ \left | \int\limits_0^t \phi (s)ds \right|^2 $$

может быть как больше так и меньше чем

$$ \int\limits_0^t |\phi (s)|^2 ds $$

.

Например:

$$ \left | \int\limits_0^5 1 ds \right|^2 = 25 > 5 = \int\limits_0^5 |1|^2 ds $$

Да, Вы правы, несколько подвело некоторое легкомыслие. На самом деле

$$ \left[\int\limits_0^t \phi (s)ds \right|^2\right]\leqslant t\int\limits_0^t |\phi (s)|^2 ds $$

[V.V.]

shwedka писал(а):

простите, но точка ноль - точка существенного спектра, как и для любого оператора Вольтерра. да и вообще, ограниченных операторов без спектра не бывает.

Простите, но какая собственная функция соответствует нулю?
И, вообще, есть по этому поводу очень интересная занимательная теорема Лалеско.

[Dan B-Yallay]

V.V. писал(а):

shwedka писал(а):

простите, но точка ноль - точка существенного спектра, как и для любого оператора Вольтерра. да и вообще, ограниченных операторов без спектра не бывает.

Простите, но какая собственная функция соответствует нулю?
И, вообще, есть по этому поводу очень интересная занимательная теорема Лалеско.

Чтобы ноль принадлежал спектру, необязательно существование собственной функции. Ноль может и не быть собственным значением. Возможно он принадлежит непрерывному или остаточному. Судя по всему в моем примере точечный спектр как раз пуст.