Комплесный интеграл по контуру

[endemic]

Задача. Необходимо вычислить следующий интеграл:

$$\oint\limits_{\gamma}^{}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz, \gamma :\left\lvert z-i \right\rvert = 2 $$

Вычетами посльзоваться, естественно, нельзя
На функцию вида $u(x,y)+iv(x,y)$ он разбивается плохо, интегральная формула Коши тоже выглядит бесперспективно. Какие еще могут быть варианты?

[mihiv]

Можно разбить область, ограниченную контуром интегрирования, на две области так, чтобы к каждой из них можно было применить формулу Коши.

[endemic]

Получилось примерно следующее:

Преобразуем знаменатель подынтегральной функции:

$$\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}= \frac{\ch(iz)}{2z^2-iz-2i}$$

Найдем корни знаменателя:

$$z_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{i±\sqrt{-1+16i}}{4}$$

Проверим, какие корни попадают в область, ограниченную окружностью:

$$ 4|z_{1,2}-i|= |i±\sqrt{-1+16i}-4i|= |-3i±\sqrt{-1+16i}|\le |-3i|+|\sqrt{-1+16i}|= $$

$$ = 3+|\sqrt{\sqrt{16^2+1}}(\cos{\varphi/2}+i \sin{\varphi/2})|= 3+\sqrt[4]{257}<3+5= 8 $$

$$ |z_{1,2}-i|<8/4=2$$

Следовательно, оба корня лежат внутри области, ограниченной контуром интегрирования.

$$ \frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}= \frac{\ch(iz)}{(z-z_1)(z-z_2)}$$

Подынтегральная функция аналитична в области, ограниченной контуром интегрирования за исключением окрестностей особых точек. Исключив особые точки, мы получим многосвязную область, к которой можно применить теорему Коши для многосвязной области:

$$\oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz= \oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz= \oint_{\gamma_1}\frac{\frac{\ch(iz)}{z-z_2}}{z-z_1}dz+ \oint_{\gamma_2}\frac{\frac{\ch(iz)}{z-z_1}}{z-z_2}dz $$

Используя интегральную формулу Коши для интегралов по окрестностям особых точек, получим:

$$\oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz= I_1+I_2= 2\pi i \frac{\ch(iz_1)}{z_1-z_2}+2\pi i \frac{\ch(iz_2)}{z_2-z_1} = 2\pi i \frac{\cos(z_1 )-\cos(z_2)}{z_1-z_2}$$

$$ \cos(z_1 )-\cos(z_2 )=2\sin(\frac{z_1+z_2}{2})\sin(\frac{z_1-z_2}{2}) $$

$$ z_1+z_2=\frac{i+\sqrt{-1+16i}}{4}+\frac{i-\sqrt{-1+16i}}{4}=\frac{2i}{4}=\frac{i}{2} $$

$$ z_1-z_2=\frac{i+\sqrt{-1+16i}}{4}-\frac{i-\sqrt{-1+16i}}{4}=\frac{2\sqrt{-1+16i}}{4}=\frac{A}{2} $$

$$ \oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz= \frac{2\pi i}{i/2}2\sin(\frac{i}{4})\sin(\frac{A}{4})= 8\pi \sin(\frac{i}{4})\sin(\frac{A}{4}) $$

$$ \oint_{\gamma}\frac{\ch(iz)}{z^2+(z-i)z-2i}dz= 8\pi \sin(\frac{i}{4})\sin(\frac{A}{4}), A=\sqrt{-1+16i} $$

Кто может сказать, есть ли в этом решении явные ошибки?

[ewert]

endemic в сообщении #969826 писал(а):

Вычетами посльзоваться, естественно, нельзя

mihiv в сообщении #969904 писал(а):

Можно разбить область, ограниченную контуром интегрирования, на две области так, чтобы к каждой из них можно было применить формулу Коши.

Второе противоречит первому. Можно, конечно, запретить себе называть чорта по имени; однако же чортом-то он от этого не перестанет быть.

[ex-math]

Непонятно, зачем Вы все-таки устраиваете вычеты. Вам подсказали -- применить интегральную формулу Коши. Если бы была одна особая точка -- интегрировали бы как есть, по границе области. А раз их две, надо разрезать область на две части, отрезком прямой, к примеру, и применять формулу Коши к каждой половине, потом интегралы сложить.

[ewert]

ex-math в сообщении #970255 писал(а):

Вам подсказали -- применить интегральную формулу Коши.

Это ровно и есть (в смысле суть) вычеты. Как минимум из-за косинуса взять явно интеграл не выйдет -- во всяком случае, за вменяемое время. Бессмыслица какая-то.

[endemic]

Да, фактически я использовал вычеты. Просто это задание относится к тому этапу, где про вычеты еще неизвестно.

ewert в сообщении #970265 писал(а):

Как минимум из-за косинуса взять явно интеграл не выйдет -- во всяком случае, за вменяемое время. Бессмыслица какая-то.

Я предполагаю, что в условии опечатка, потому что задачи других вариантов выглядят примерно так :

$$ \oint_{\gamma}\frac{\sin(\frac{\pi}{4}z)}{(z-1)(z-3)^2}dz, \gamma: |z-3|=1 $$

Это чуть ли не канонический пример интегральной формулы Коши

-- 29.01.2015, 00:14 --

ex-math в сообщении #970255 писал(а):

Непонятно, зачем Вы все-таки устраиваете вычеты. Вам подсказали -- применить интегральную формулу Коши. Если бы была одна особая точка -- интегрировали бы как есть, по границе области. А раз их две, надо разрезать область на две части, отрезком прямой, к примеру, и применять формулу Коши к каждой половине, потом интегралы сложить.

Разбивая на 2 области получаем те же самые 2 интеграла. Мне решение с помощью теоремы Коши для многосвязной области кажется более красивым. Кроме того, чтобы разрезать область интегрирования на 2 части, надо знать хотя бы примерные координаты $i \pm \sqrt{-1+16i}$. Решение и без того достаточно громоздкое, и загромождать его поиском "крайне некрасивых" чисел (я посчитал в wolframalpha) было бы нежелательно.

[ex-math]

Ясно, что мнимая часть $\sqrt{-1+16i}$ положительна (главная ветвь корня), так что подойдет горизонтальный отрезок, проходящий через $i$.
Если речь идет о том, чтобы решение минимально походило на вычисление вычета, конечно нужно применять интегральную формулу Коши к области (возможно разрезанной), а не описывать малые окружности вокруг особых точек.
ewert
Я Вам даже больше скажу: равенство нулю интеграла по замкнутому контуру -- тоже уже вычеты.

[ewert]

endemic в сообщении #970267 писал(а):

Я предполагаю, что в условии опечатка,

Или в условии, или у Вас -- безусловно опечатка. Выражений типа $z^2+(z-i)z-2i$ не бывает. Зато вполне бывает $z^2+(2-i)z-2i$, и корни очень простые.

ex-math в сообщении #970377 писал(а):

равенство нулю интеграла по замкнутому контуру -- тоже уже вычеты.

Нет, это -- принципиально до.

[ex-math]

Ну как же, ТС нам продемонстрировал, как из интегральной теоремы Коши в одно действие свести задачу к интегралам по малым окружностям, охватывающим особенности (что, собственно, и есть вычеты).

Опечатка, может и есть, но задача и в таком виде решаемая. А то, что ТС повозился с ней, принесет ему только пользу.

[mihiv]

endemic в сообщении #970267 писал(а):

Кроме того, чтобы разрезать область интегрирования на 2 части, надо знать хотя бы примерные координаты $i \pm \sqrt{-1+16i}$.

В любом случае нужно проверить, находятся ли нули знаменателя в области, ограниченной контуром интегрирования.