Преобразование Фурье и производная

[demolishka]

Подскажите пожалуйста, как получено следующее равенство

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f'(t)|^2 dt = 4\pi^2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2|\hat{f}(x)|^2 dx,$$

где $\hat{f}(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi i x t}f(t)dt$ - преобразование Фурье функции $f$.
Подозреваю, что последнее могло получиться из

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f'}(x)|^2dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |2\pi i x\hat{f}(x)|^2dx = 4\pi^2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2|\hat{f}(x)|^2 dx.$$

Но вот почему

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f'(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f'}(x)|^2dx.$$

[Red_Herring]

Равенство Парсеваля + преобразование Фурье произведения производной

[demolishka]

Спасибо. На самом деле в моем случае функции вообще финитные гладкие. А для них это равенство еще проще.