2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Преобразование Фурье и производная
Сообщение27.01.2015, 23:12 
Аватара пользователя
Подскажите пожалуйста, как получено следующее равенство
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f'(t)|^2 dt = 4\pi^2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2|\hat{f}(x)|^2 dx,$$
где $\hat{f}(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\pi i x t}f(t)dt$ - преобразование Фурье функции $f$.
Подозреваю, что последнее могло получиться из
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f'}(x)|^2dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |2\pi i x\hat{f}(x)|^2dx = 4\pi^2\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2|\hat{f}(x)|^2 dx.$$
Но вот почему
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f'(t)|^2 dt = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f'}(x)|^2dx.$$

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье и производная
Сообщение28.01.2015, 00:50 
Аватара пользователя
Равенство Парсеваля + преобразование Фурье произведения производной

 
 
 
 Re: Преобразование Фурье и производная
Сообщение28.01.2015, 02:49 
Аватара пользователя
Спасибо. На самом деле в моем случае функции вообще финитные гладкие. А для них это равенство еще проще.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group