2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 15:13 


10/02/11
6786
Шар радиуса $r$ катится без проскальзывания по некоторой неподвижной поверхности. Кривая $l$ контакта шара с поверхностью, лежащая на поверхности, задана своей кривизной $k(s)$ и кручением $\ae(s)$; $s$ -- натуральный параметр.
Известны компоненты угловой скорости шара в репере Френе кривой $l$:
$$\overline\omega=\Omega_1\overline \tau+\Omega_2\overline n+\Omega_3\overline b$$ и закон движения точки контакта $s=s(t)$. Если нас интересует только геометрия, то можно роложить $s=t$.

Требуется наийти кривизну $k_*(s)$ и кручение $\ae_*(s)$ кривой контакта на шаре. Эту кривую назовем $l_*$.

Введем репер Френе кривой $l_*$: $\overline \tau\overline N\overline B$. И угол поворота $\phi$ одного репера относительно другого так, что
$$\overline B=\cos\phi \overline b-\sin\phi\overline n,\quad \overline N=\cos\phi\overline n+\sin\phi\overline b.$$

Угловая скорость шара равна
$$\overline\omega=\overline\omega_1+\overline\omega_2+\overline\omega_3,$$
где $\overline\omega_1=\dot s(k(s)\overline b+\ae(s)\overline \tau)$ -- угловая скорость репера $\overline \tau\overline n\overline b$,
$\overline\omega_2=\dot\phi\overline\tau$ -- угловая скорость репера $\overline \tau\overline N\overline B$ относительно репера $\overline \tau\overline n\overline b$,
$\overline\omega_3=-\dot s(\ae_*\overline \tau+k_*\overline B)$ -- скорость шара относительно репера $\overline \tau\overline N\overline B$.

Откуда:
$$\Omega_1=\dot s\ae+\dot\phi-\dot s\ae_*,\quad \Omega_2=\dot sk_*\sin\phi,\quad \Omega_3=\dot sk-\dot sk_*\cos\phi.$$
$$
В этой системе уравнений неизвестными считаются функции $k_*,\ae_*,\phi$.
Из основного тригонометрического тождества получаем
$$\dot s^2k_*^2=\Omega_2^2+(\dot sk-\Omega_3)^2.$$

Если дополнительно предположить, что вектор $\overline b$ во все время движения перпендикулярен поверхности, то мы получим еще одно уравнение с использованием скорости центра шара
$$\overline v=[\overline \omega_1,r\overline b]+\dot s\overline \tau=[\overline \omega,r\overline b]$$
откуда
$$\Omega_1=\dot s\ae,\quad r\Omega_2=\dot s.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 17:05 


10/02/11
6786
все рассуждения до слов "Если дополнительно предположить," остаются верными не только для случая шара, но и для любого тела, которое катится без проскальзывания , контактируя с поверхностью в одной точке

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Не могу смотреть на это издевательство. Буква $\varkappa$ пишется \varkappa .

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 18:14 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

$$\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,$$
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown

(æ)

Munin в сообщении #966240 писал(а):
Не могу смотреть на это издевательство. Буква $\varkappa$ пишется \varkappa .

А \ae Æ (minuscule: æ) is a grapheme named aesc or ash, formed from the letters a and e. Originally a ligature representing a Latin diphthong, it has been promoted to the full status of a letter in the alphabets of some languages, including Danish, Norwegian, Icelandic and Faroese. As a letter of the Old English Latin alphabet, it was called æsc ("ash tree") after the Anglo-Saxon futhorc rune ᚫ (Runic letter), which it transliterated; its traditional name in English is still ash /æʃ/.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 00:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Red_Herring
Я знаю, что это за буква, изучал древнеанглийский (с околонулевым успехом), и даже когда-то знал футорк. Но использовать эту букву в выкладках не более уместно, чем thorn или wyne. Обычно пишут именно $\varkappa,$ но на доске она выглядит с более "толстыми" петельками, причём когда искусство писать эту букву передаётся не через книги, а по традиции от лектора к лектору, внешний вид может проэволюционировать очень сильно. Но всё-таки это не $\ae.$


Oleg Zubelevich
$\textsl{\ae},$ хотя бы уж :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown

(Оффтоп)

Munin в сообщении #966541 писал(а):
Я знаю, что это за буква,

Я знаю, что Вы знаете, но не знаю, знает ли Oleg Zubelevich что это не каппа и вообще не математический символ.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 02:14 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Red_Herring, это хорошо, что за свой сорокалетний педагогический стаж, Вы изучили написание греческих букв и отличаете математические символы от прочих. Запишите это достижение себе в актив. Я горжусь Вами, молодежи есть чему у Вас научиться :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Считаю необходимым предостеречь Oleg Zubelevich, скопипастив этот поучительный анекдот:
Техас. 1873 год. Обветшалый салун. Тапер бренчит на пианино. Пожилой ковбой в углу потягивает виски.

В помещение врывается крутой такой ковбой, шпоры звенят, в руке здоровенный "Кольт", и начинает палить по бару как заведенный. Вдребезги разлетаются бутылки и стаканы на барной стойке. Всё в осколках. Выстрелом выбита сигара изо рта у пожилого ковбоя, но он все так же невозмутимо наблюдает за молодым. Молодой с криком "Всем запомнить — меня зовут Боб!" сделал последний меткий выстрел, отстрелив фитилек у свечи.

Пожилой ковбой медленно поднялся и так вразвалочку, еле передвигая ноги, подошел к нему… Видно, что каждый шаг дается ему с большими усилиями. Он взял из рук молодого ковбоя пистолет и внимательно осмотрел его:
— М–да… Спили мушку, сынок. У твоего Кольта слишком большая мушка, лучше спили ее… "Зачем"?- удивляется наглец Боб
Когда–то, давным–давно, я был таким же, как ты, — шустрым и метким. Так же, как ты, я ворвался в один салун, где сидели пожилые ковбои, и перестрелял все бутылки. У меня был вот точно такой же Кольт 9–го калибра с большой мушкой, сынок. И стрелял я тоже метко, не хуже тебя. Но когда у меня кончились патроны, ко мне подошли три ковбоя, засунули мой здоровенный "Кольт" мне в задницу и несколько раз его там провернули. Так вот, сынок, послушай моего совета,
спили мушку! Спили мушку, сынок!..

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Самое страшное для детей, когда ссорятся родители. :cry: :cry: :cry:
Господа, мы же заходим в ваши темы с благоговением и ожидаем получения сокровенных знаний, а не споров о пустяках.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 19:44 


10/02/11
6786
Теперь предположим, что неподвижная поверхность это шар радиуса $R$. угол между $\overline n$ и внешней нормалью $\overline \beta$ к неподвижному шару обозначим за $\theta$; $\overline\beta=\cos\theta\overline n+\sin\theta\overline b$. По теореме Менье $k\cos\theta =1/R.$

Угловая скорость репера $\overline\tau,\overline \beta,[\overline\tau,\overline \beta]$ равна
$$\overline\nu=\overline \omega_1+\dot\theta\overline\tau.$$
Тогда скорость центра шара находится по формуле
$$\overline v=[\overline\omega,r\overline \beta]=[\overline \nu,r\overline \beta]+\dot s\overline \tau.$$
Последнее равенство приводит к двум уравнениям:
$$k_*\cos(\phi-\theta)=\frac{1}{r},\quad -\dot\phi+\dot s\ae_*+\dot \theta=0.$$
Предположим еще, что верчение вокруг оси соединяющей центры шаров отсутствует: $(\overline \beta,\overline \omega)=0.$ Это равенство приводится к виду $k_*\sin(\phi-\theta)=-k\sin\theta.$
Используя теорему Менье, получаем
$$k_*^2-k^2=\frac{1}{r^2}-\frac{1}{R^2}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение23.01.2015, 14:56 


10/02/11
6786
Если шар катится по произвольной поверхности то можно получить соответствующую формулу в терминах геодезической кривизны $k_g=k\sin\theta$
$$k_*^2-k_g^2=\frac{1}{r^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение27.01.2015, 21:54 


10/02/11
6786
и чтобы закончить с этим...

Твердое тело $A$ катится без проскальзывания с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ по неподвижному   твердому телу $B$. Через $l$ обозначим кривую, которую рисует на теле $B$ точка контакта; через $l^*$ обозначим кривую, которую рисует точка контакта на теле $A$. 

Через $s$ обозначим натуральный параметр, который, в силу непроскальзывания, можно считать общим для обеих кривых. Закон движения точки контакта $s=s(t)$;  и пусть $k^*(s),k(s)$ --  кривизны  кривых $l^*,l$ соответственно. 



Через $\boldsymbol{\beta}$ обозначим обозначим единичную нормаль к поверхности тела $B$ в точке контакта. 

Пусть плоскость  $\Pi$ такова, что 

1) она содержит вектор $\boldsymbol{\beta}$;

2) она  является касательной к кривой $l$ в точке контакта. 

Дальше мы будем считать, что вектор $\boldsymbol{\beta}$ направлен в сторону центра кривизны кривой $L=\Pi\bigcap B$. Таким образом, $\boldsymbol{\beta}$ это вектор главной нормали к кривой $L$ в точке контакта. 
Вектор  $\boldsymbol{\tau}$ введем так, что бы скорость точки контакта выражалась формулой $\dot s\boldsymbol{\tau}$.

Через $\boldsymbol{n}$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l$. Через $\boldsymbol{n}^*$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l^*$.

Пусть 

$$K=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}) k,\quad K^*=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}^*) k^*.$$

Легко проверить, что функции $$k_g=|K|,\quad k^*_g=|K^*|$$ являются геодезическими кривизнами  кривых $l$ и $l^*$ соответственно.



Теорема.
Верна формула
$$(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=(K- K^*)\dot s.$$

Следствие. 

1) Если верчение отсутствует: $(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=0$ то $k_g=k_g^*$.

2) Если в отсутствии верчения,  одна из кривых $l,l^*$ является геодезической то и другая тоже геодезическая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group