Шар радиуса
катится без проскальзывания по некоторой неподвижной поверхности. Кривая
контакта шара с поверхностью, лежащая на поверхности, задана своей кривизной
и кручением
;
-- натуральный параметр.
Известны компоненты угловой скорости шара в репере Френе кривой
:
и закон движения точки контакта
. Если нас интересует только геометрия, то можно роложить
.
Требуется наийти кривизну
и кручение
кривой контакта на шаре. Эту кривую назовем
.
Введем репер Френе кривой
:
. И угол поворота
одного репера относительно другого так, что
Угловая скорость шара равна
где
-- угловая скорость репера
,
-- угловая скорость репера
относительно репера
,
-- скорость шара относительно репера
.
Откуда:
В этой системе уравнений неизвестными считаются функции
.
Из основного тригонометрического тождества получаем
Если дополнительно предположить, что вектор
во все время движения перпендикулярен поверхности, то мы получим еще одно уравнение с использованием скорости центра шара
![$$\overline v=[\overline \omega_1,r\overline b]+\dot s\overline \tau=[\overline \omega,r\overline b]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/e/54ee788573657393db528f86792498ba82.png "$$\overline v=[\overline \omega_1,r\overline b]+\dot s\overline \tau=[\overline \omega,r\overline b]$$")
откуда
пишется 
но на доске она выглядит с более "толстыми" петельками, причём когда искусство писать эту букву передаётся не через книги, а по традиции от лектора к лектору, внешний вид может проэволюционировать очень сильно. Но всё-таки это не 
хотя бы уж :-)
. угол между 
и внешней нормалью 
к неподвижному шару обозначим за 
; 
. По теореме Менье 
![$\overline\tau,\overline \beta,[\overline\tau,\overline \beta]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/9/14968c6aec5ee69f90e854e43db6d50982.png "$\overline\tau,\overline \beta,[\overline\tau,\overline \beta]$")
равна
![$$\overline v=[\overline\omega,r\overline \beta]=[\overline \nu,r\overline \beta]+\dot s\overline \tau.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/8/e48ff63b1fff26771bbc10c6e9ab9a2d82.png "$$\overline v=[\overline\omega,r\overline \beta]=[\overline \nu,r\overline \beta]+\dot s\overline \tau.$$")
Это равенство приводится к виду 
![Твердое тело $A$ катится без проскальзывания с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ по неподвижному твердому телу $B$. Через $l$ обозначим кривую, которую рисует на теле $B$ точка контакта; через $l^*$ обозначим кривую, которую рисует точка контакта на теле $A$.
Через $s$ обозначим натуральный параметр, который, в силу непроскальзывания, можно считать общим для обеих кривых. Закон движения точки контакта $s=s(t)$; и пусть $k^*(s),k(s)$ -- кривизны кривых $l^*,l$ соответственно.
Через $\boldsymbol{\beta}$ обозначим обозначим единичную нормаль к поверхности тела $B$ в точке контакта.
Пусть плоскость $\Pi$ такова, что
1) она содержит вектор $\boldsymbol{\beta}$;
2) она является касательной к кривой $l$ в точке контакта.
Дальше мы будем считать, что вектор $\boldsymbol{\beta}$ направлен в сторону центра кривизны кривой $L=\Pi\bigcap B$. Таким образом, $\boldsymbol{\beta}$ это вектор главной нормали к кривой $L$ в точке контакта.
Вектор $\boldsymbol{\tau}$ введем так, что бы скорость точки контакта выражалась формулой $\dot s\boldsymbol{\tau}$.
Через $\boldsymbol{n}$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l$. Через $\boldsymbol{n}^*$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l^*$.
Пусть
$$K=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}) k,\quad K^*=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}^*) k^*.$$
Легко проверить, что функции $$k_g=|K|,\quad k^*_g=|K^*|$$ являются геодезическими кривизнами кривых $l$ и $l^*$ соответственно.
Теорема.
Верна формула
$$(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=(K- K^*)\dot s.$$
Следствие.
1) Если верчение отсутствует: $(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=0$ то $k_g=k_g^*$.
2) Если в отсутствии верчения, одна из кривых $l,l^*$ является геодезической то и другая тоже геодезическая.](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/e/1/ce1ee3930feeaae766238a5d8bacc95c82.png "Твердое тело $A$ катится без проскальзывания с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ по неподвижному твердому телу $B$. Через $l$ обозначим кривую, которую рисует на теле $B$ точка контакта; через $l^*$ обозначим кривую, которую рисует точка контакта на теле $A$.
Через $s$ обозначим натуральный параметр, который, в силу непроскальзывания, можно считать общим для обеих кривых. Закон движения точки контакта $s=s(t)$; и пусть $k^*(s),k(s)$ -- кривизны кривых $l^*,l$ соответственно.
Через $\boldsymbol{\beta}$ обозначим обозначим единичную нормаль к поверхности тела $B$ в точке контакта.
Пусть плоскость $\Pi$ такова, что
1) она содержит вектор $\boldsymbol{\beta}$;
2) она является касательной к кривой $l$ в точке контакта.
Дальше мы будем считать, что вектор $\boldsymbol{\beta}$ направлен в сторону центра кривизны кривой $L=\Pi\bigcap B$. Таким образом, $\boldsymbol{\beta}$ это вектор главной нормали к кривой $L$ в точке контакта.
Вектор $\boldsymbol{\tau}$ введем так, что бы скорость точки контакта выражалась формулой $\dot s\boldsymbol{\tau}$.
Через $\boldsymbol{n}$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l$. Через $\boldsymbol{n}^*$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l^*$.
Пусть
$$K=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}) k,\quad K^*=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}^*) k^*.$$
Легко проверить, что функции $$k_g=|K|,\quad k^*_g=|K^*|$$ являются геодезическими кривизнами кривых $l$ и $l^*$ соответственно.
Теорема.
Верна формула
$$(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=(K- K^*)\dot s.$$
Следствие.
1) Если верчение отсутствует: $(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=0$ то $k_g=k_g^*$.
2) Если в отсутствии верчения, одна из кривых $l,l^*$ является геодезической то и другая тоже геодезическая.")