2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 15:13 
Шар радиуса $r$ катится без проскальзывания по некоторой неподвижной поверхности. Кривая $l$ контакта шара с поверхностью, лежащая на поверхности, задана своей кривизной $k(s)$ и кручением $\ae(s)$; $s$ -- натуральный параметр.
Известны компоненты угловой скорости шара в репере Френе кривой $l$:
$$\overline\omega=\Omega_1\overline \tau+\Omega_2\overline n+\Omega_3\overline b$$ и закон движения точки контакта $s=s(t)$. Если нас интересует только геометрия, то можно роложить $s=t$.

Требуется наийти кривизну $k_*(s)$ и кручение $\ae_*(s)$ кривой контакта на шаре. Эту кривую назовем $l_*$.

Введем репер Френе кривой $l_*$: $\overline \tau\overline N\overline B$. И угол поворота $\phi$ одного репера относительно другого так, что
$$\overline B=\cos\phi \overline b-\sin\phi\overline n,\quad \overline N=\cos\phi\overline n+\sin\phi\overline b.$$

Угловая скорость шара равна
$$\overline\omega=\overline\omega_1+\overline\omega_2+\overline\omega_3,$$
где $\overline\omega_1=\dot s(k(s)\overline b+\ae(s)\overline \tau)$ -- угловая скорость репера $\overline \tau\overline n\overline b$,
$\overline\omega_2=\dot\phi\overline\tau$ -- угловая скорость репера $\overline \tau\overline N\overline B$ относительно репера $\overline \tau\overline n\overline b$,
$\overline\omega_3=-\dot s(\ae_*\overline \tau+k_*\overline B)$ -- скорость шара относительно репера $\overline \tau\overline N\overline B$.

Откуда:
$$\Omega_1=\dot s\ae+\dot\phi-\dot s\ae_*,\quad \Omega_2=\dot sk_*\sin\phi,\quad \Omega_3=\dot sk-\dot sk_*\cos\phi.$$
$$
В этой системе уравнений неизвестными считаются функции $k_*,\ae_*,\phi$.
Из основного тригонометрического тождества получаем
$$\dot s^2k_*^2=\Omega_2^2+(\dot sk-\Omega_3)^2.$$

Если дополнительно предположить, что вектор $\overline b$ во все время движения перпендикулярен поверхности, то мы получим еще одно уравнение с использованием скорости центра шара
$$\overline v=[\overline \omega_1,r\overline b]+\dot s\overline \tau=[\overline \omega,r\overline b]$$
откуда
$$\Omega_1=\dot s\ae,\quad r\Omega_2=\dot s.$$

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 17:05 
все рассуждения до слов "Если дополнительно предположить," остаются верными не только для случая шара, но и для любого тела, которое катится без проскальзывания , контактируя с поверхностью в одной точке

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 17:35 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Не могу смотреть на это издевательство. Буква $\varkappa$ пишется \varkappa .

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 18:14 

(Оффтоп)

$$\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,\ae\,$$
Изображение

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение21.01.2015, 18:14 
Аватара пользователя

(æ)

Munin в сообщении #966240 писал(а):
Не могу смотреть на это издевательство. Буква $\varkappa$ пишется \varkappa .

А \ae Æ (minuscule: æ) is a grapheme named aesc or ash, formed from the letters a and e. Originally a ligature representing a Latin diphthong, it has been promoted to the full status of a letter in the alphabets of some languages, including Danish, Norwegian, Icelandic and Faroese. As a letter of the Old English Latin alphabet, it was called æsc ("ash tree") after the Anglo-Saxon futhorc rune ᚫ (Runic letter), which it transliterated; its traditional name in English is still ash /æʃ/.

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 00:52 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Red_Herring
Я знаю, что это за буква, изучал древнеанглийский (с околонулевым успехом), и даже когда-то знал футорк. Но использовать эту букву в выкладках не более уместно, чем thorn или wyne. Обычно пишут именно $\varkappa,$ но на доске она выглядит с более "толстыми" петельками, причём когда искусство писать эту букву передаётся не через книги, а по традиции от лектора к лектору, внешний вид может проэволюционировать очень сильно. Но всё-таки это не $\ae.$


Oleg Zubelevich
$\textsl{\ae},$ хотя бы уж :-)

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 00:57 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Munin в сообщении #966541 писал(а):
Я знаю, что это за буква,

Я знаю, что Вы знаете, но не знаю, знает ли Oleg Zubelevich что это не каппа и вообще не математический символ.

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 02:14 

(Оффтоп)

Red_Herring, это хорошо, что за свой сорокалетний педагогический стаж, Вы изучили написание греческих букв и отличаете математические символы от прочих. Запишите это достижение себе в актив. Я горжусь Вами, молодежи есть чему у Вас научиться :mrgreen:

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 16:41 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Считаю необходимым предостеречь Oleg Zubelevich, скопипастив этот поучительный анекдот:
Техас. 1873 год. Обветшалый салун. Тапер бренчит на пианино. Пожилой ковбой в углу потягивает виски.

В помещение врывается крутой такой ковбой, шпоры звенят, в руке здоровенный "Кольт", и начинает палить по бару как заведенный. Вдребезги разлетаются бутылки и стаканы на барной стойке. Всё в осколках. Выстрелом выбита сигара изо рта у пожилого ковбоя, но он все так же невозмутимо наблюдает за молодым. Молодой с криком "Всем запомнить — меня зовут Боб!" сделал последний меткий выстрел, отстрелив фитилек у свечи.

Пожилой ковбой медленно поднялся и так вразвалочку, еле передвигая ноги, подошел к нему… Видно, что каждый шаг дается ему с большими усилиями. Он взял из рук молодого ковбоя пистолет и внимательно осмотрел его:
— М–да… Спили мушку, сынок. У твоего Кольта слишком большая мушка, лучше спили ее… "Зачем"?- удивляется наглец Боб
Когда–то, давным–давно, я был таким же, как ты, — шустрым и метким. Так же, как ты, я ворвался в один салун, где сидели пожилые ковбои, и перестрелял все бутылки. У меня был вот точно такой же Кольт 9–го калибра с большой мушкой, сынок. И стрелял я тоже метко, не хуже тебя. Но когда у меня кончились патроны, ко мне подошли три ковбоя, засунули мой здоровенный "Кольт" мне в задницу и несколько раз его там провернули. Так вот, сынок, послушай моего совета,
спили мушку! Спили мушку, сынок!..

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 17:27 
Аватара пользователя
Самое страшное для детей, когда ссорятся родители. :cry: :cry: :cry:
Господа, мы же заходим в ваши темы с благоговением и ожидаем получения сокровенных знаний, а не споров о пустяках.

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение22.01.2015, 19:44 
Теперь предположим, что неподвижная поверхность это шар радиуса $R$. угол между $\overline n$ и внешней нормалью $\overline \beta$ к неподвижному шару обозначим за $\theta$; $\overline\beta=\cos\theta\overline n+\sin\theta\overline b$. По теореме Менье $k\cos\theta =1/R.$

Угловая скорость репера $\overline\tau,\overline \beta,[\overline\tau,\overline \beta]$ равна
$$\overline\nu=\overline \omega_1+\dot\theta\overline\tau.$$
Тогда скорость центра шара находится по формуле
$$\overline v=[\overline\omega,r\overline \beta]=[\overline \nu,r\overline \beta]+\dot s\overline \tau.$$
Последнее равенство приводит к двум уравнениям:
$$k_*\cos(\phi-\theta)=\frac{1}{r},\quad -\dot\phi+\dot s\ae_*+\dot \theta=0.$$
Предположим еще, что верчение вокруг оси соединяющей центры шаров отсутствует: $(\overline \beta,\overline \omega)=0.$ Это равенство приводится к виду $k_*\sin(\phi-\theta)=-k\sin\theta.$
Используя теорему Менье, получаем
$$k_*^2-k^2=\frac{1}{r^2}-\frac{1}{R^2}.$$

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение23.01.2015, 14:56 
Если шар катится по произвольной поверхности то можно получить соответствующую формулу в терминах геодезической кривизны $k_g=k\sin\theta$
$$k_*^2-k_g^2=\frac{1}{r^2}$$

 
 
 
 Re: кинематика качения шара
Сообщение27.01.2015, 21:54 
и чтобы закончить с этим...

Твердое тело $A$ катится без проскальзывания с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ по неподвижному   твердому телу $B$. Через $l$ обозначим кривую, которую рисует на теле $B$ точка контакта; через $l^*$ обозначим кривую, которую рисует точка контакта на теле $A$. 

Через $s$ обозначим натуральный параметр, который, в силу непроскальзывания, можно считать общим для обеих кривых. Закон движения точки контакта $s=s(t)$;  и пусть $k^*(s),k(s)$ --  кривизны  кривых $l^*,l$ соответственно. 



Через $\boldsymbol{\beta}$ обозначим обозначим единичную нормаль к поверхности тела $B$ в точке контакта. 

Пусть плоскость  $\Pi$ такова, что 

1) она содержит вектор $\boldsymbol{\beta}$;

2) она  является касательной к кривой $l$ в точке контакта. 

Дальше мы будем считать, что вектор $\boldsymbol{\beta}$ направлен в сторону центра кривизны кривой $L=\Pi\bigcap B$. Таким образом, $\boldsymbol{\beta}$ это вектор главной нормали к кривой $L$ в точке контакта. 
Вектор  $\boldsymbol{\tau}$ введем так, что бы скорость точки контакта выражалась формулой $\dot s\boldsymbol{\tau}$.

Через $\boldsymbol{n}$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l$. Через $\boldsymbol{n}^*$ обозначим вектор главной нормали к кривой $l^*$.

Пусть 

$$K=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}) k,\quad K^*=([\boldsymbol{\beta},\boldsymbol{\tau}],\boldsymbol{n}^*) k^*.$$

Легко проверить, что функции $$k_g=|K|,\quad k^*_g=|K^*|$$ являются геодезическими кривизнами  кривых $l$ и $l^*$ соответственно.



Теорема.
Верна формула
$$(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=(K- K^*)\dot s.$$

Следствие. 

1) Если верчение отсутствует: $(\boldsymbol{\omega},\boldsymbol{\beta})=0$ то $k_g=k_g^*$.

2) Если в отсутствии верчения,  одна из кривых $l,l^*$ является геодезической то и другая тоже геодезическая.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group