Внешняя степень матрицы

[grizzly]

OlgaD
Пусть $A=\left(\begin{matrix} a & c\\b & d \end{matrix}\right)$
$ A{\mathbf e}_1 \wedge A{\mathbf e}_2 = ... =(ad-bc){\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_2 $
Сможете развернуть точки и получить требуемое?

[OlgaD]

В общем у меня получился такой результат

$$\left(% \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{array}% \right)\wedge\left(% \begin{array}{cc} c_1 & c_2 \\ d_1 & d_2 \\ \end{array}% \right)=1/2!\left(\left|\begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ d_1 & d_2 \\ \end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{array}\right|\right).$$

[grizzly]

Это у нас сошлось!

[OlgaD]

И все-таки моя формула кажется какой-то дикой. А нельзя ее по другому записать? И кажется выше были против корректировочного множителя. А если, например, считаем 3-юю внешнюю степень матрицы 4-го порядка - это что будет? Определитель от матрицы, в которой элементы миноры?

[grizzly]

grizzly в сообщении #968073 писал(а):

Это у нас сошлось!

Боюсь, мы поспешили. Ещё раз переспрошу: Вы уверены, что для матриц со степенью 2 вопрос полностью закрыт и Вам всё понятно?

(OlgaD)

Пытаться помочь Вам дальше с разными матрицами и с дальнейшими обобщениями было бы с моим текущим уровнем понимания тонкостей просто неприлично. Чем богаты, тем поделились :)

[OlgaD]

grizzly в сообщении #968088 писал(а):

Боюсь, мы поспешили. Ещё раз переспрошу: Вы уверены, что для матриц со степенью 2 вопрос полностью закрыт и Вам всё понятно?

Понимания стало больше, а полной уверенности, наверное, нет. Просто я хочу понять общий принцип вычисления таких произведений. Поэтому ограничиваться частныс случаем явно неприлично.

[arseniiv]

Если принять

$$(A\wedge B)(\mathbf e_i\wedge\mathbf e_j) = A\mathbf e_i\wedge B\mathbf e_j,$$

получим, например,

$$(A\wedge B)(-\mathbf e_j\wedge\mathbf e_i) = -A\mathbf e_j\wedge B\mathbf e_i = B\mathbf e_i\wedge A\mathbf e_j,$$

т. е. внешнее умножение операторов коммутативно, что даёт найти $A\wedge B$ через $(A+B)^{\wedge2},A^{\wedge2},B^{\wedge2}$, в матрицах это будет выглядеть более-менее.

[OlgaD]

arseniiv в сообщении #968305 писал(а):

т. е. внешнее умножение операторов коммутативно

коммутативно?

[OlgaD]

А правильно я понимаю, что если $\mathcal{A},\mathcal{B}$ - два линейных оператора, то их внешнее произведение определяется как

$$\mathcal{A}\wedge\mathcal{B}=\frac{1}{2}(\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}-\mathcal{B}\otimes\mathcal{A}),$$

где $\mathcal{A}\otimes\mathcal{B}$ - их тензорное произведение? Получается как то нехорошо, так как тогда $\mathcal{A}\wedge\mathcal{A}=0.$

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #968543 писал(а):

если $\mathcal{A},\mathcal{B}$ - два линейных оператора, то их внешнее произведение определяется

А где Вы прочитали про внешнее произведение произвольных операторов, разве есть такое понятие? Записи типа $A_1x_1\wedge A_2x_2$ безусловно, годятся для определения в частных случаях, но имеют смысл не всегда.

[OlgaD]

У меня такое представление, что я понимаю не все и в общую картину что-то не складывается.

patzer2097 в сообщении #968613 писал(а):

Записи типа $A_1x_1\wedge A_2x_2$ безусловно, годятся для определения в частных случаях, но имеют смысл не всегда.

Я вроде такими записями еще не пользовалась... Вопрос в другом, кронекоровское произведение матриц появляется при рассмотрении тензорного произведения операторов. А внешнее произведение матриц?

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #968655 писал(а):

А внешнее произведение матриц?

А что Вы называете внешним произведением матриц? Пока мы знаем только, что такое внешнее произведение матрицы на саму себя. И, я бы сказал, не матрицы, а оператора.

[arseniiv]

OlgaD в сообщении #968482 писал(а):

коммутативно?

Если та моя формула совпадает с определением.

Я вот тоже хотел найти противоречие, но не туда пошёл и нашёл только коммутативность вместо, например, зануления.

[OlgaD]

Нет, так не пойдет. Ходим по кругу. Давайте вкратце: я разбирала понятие внешней степени векторного расслоения. При описании функций перехода такого расслоения приходим к понятию внешней степени матрицы. Это и был мой первый вопрос, хотя я его поставила не совсем корректно.

[patzer2097]

OlgaD в сообщении #968667 писал(а):

приходим к понятию внешней степени матрицы

И с ним мы разобрались. А разумного способа определить внешнее произведение для разных матриц не видно, да и зачем это делать?