Совместная функция распределения

[PeanoJr]

В задаче просят найти совместную функцию распределения двумерной случайной величины при заданной плотности.
Плотность задана следующим образом:

$$f(x,y)=\begin{cases}0,&\text{если $x\notin [0;1]$или $y \notin [0;1]$;}\\1,&\text{если $x \in [0;1]$ и $y \in[0;1]$;}\end{cases}$$

Функцию распределения, как обычно, ищу по формуле:

`$F(x,y)=$$\int\limits_{-\infty}^{x}\int\limits_{-\infty}^{y} f(s,t)dsdt$$

Нужно записать функцию распределения для всех возможных областей.
Например, для области $x>1$,$y \in[0;1]$
Ось абсцисс разобьется на $(-\infty;0)\bigcup[0;1]\bigcup(1;x)$
Ось ординат на $(-\infty;0) \bigcup [0;y)$
Правильно ли я понимаю, что по идее при интегрировании нужно рассматривать все комбинации данных интервалов, т.е в данном случае - 6?
Но, т.к мы знаем, что функция плотности распределения равна нулю при $x \notin [0;1]$ или $y \notin[0;1]$, то мы "лишние" интервалы просто выкидываем?
Немного запутался в этом..

[mihailm]

Картинка нужна для интеграла

[PeanoJr]

mihailm в сообщении #968562 писал(а):

Картинка нужна для интеграла

Двумерная случайная величина равномерно распределена в квадрате с вершинами$(0;0),(1;0),(0;1),(1;1)$.
Картинка перед глазами, но, увы, все равно не совсем могу сообразить, как рассматриваются всевозможные области интегрирования и сколько их тут вообще

[mihailm]

Возьмите конкретную точку (на рисунке) и найдите интеграл.

[profrotter]

Нельзя ли тут представить плотность вероятности в виде $f(x,y)=g(x)h(y)$? Тогда бы двойной интеграл свёлся к двум по одной переменной.

[Pphantom]

PeanoJr в сообщении #968564 писал(а):

Картинка перед глазами, но, увы, все равно не совсем могу сообразить, как рассматриваются всевозможные области интегрирования и сколько их тут вообще

Ваш двойной интеграл - объем под поверхностью $f(x,y)$, вернее, часть этого объема. Пожалуй, ответ просто очевиден.

[Henrylee]

Peano Jr, вот обратите внимание сюда:

profrotter в сообщении #968631 писал(а):

Нельзя ли тут представить плотность вероятности в виде $f(x,y)=g(x)h(y)$? Тогда бы двойной интеграл свёлся к двум по одной переменной.

И будет у Вас три области интегрирования, а потом произведение функций.
А так их девять.