Полнота пространства [math]$\Lambda(\varphi,p)$[/math]

[ProPupil]

Добрый день, я рассматриваю пространство $\Lambda(\varphi,p)$, которое определяется следующим образом:

Пусть $\varphi(x)$ - интегрируемая на $[0,l]$ неотрицательная невозрастающая функция, отличная от тождественного нуля. Пусть $1\leq p < \infty.$

Пусть $f(x)$ - измеримая на $[0,l]$ функция. Её невозрастающей перестановкой называется функция $f^\ast(x) = \inf\{s > 0: \operatorname{mes} E[|f|>s] \leq x\}$.

Говорят, что $f\in\Lambda(\varphi,p)$, если $\|f\| = \left(\int\limits_0^l \varphi(x)f^\ast(x)^p\,dx\right)^\frac{1}{p}$ конечна.

Необходимо доказать утверждение о том, что это пространство полно в введённой нами форме.
Мне бы хотелось узнать, как можно доказать полноту в общем случае?

Я прекрасно понимаю, что для этого надо взять фундаментальную в норме данного пространства последовательность и показать, что она сходится. Подскажите, пожалуйста, как доказать сходимость?

Добавление.
У автора имеется следующее доказательство для частного случая $\varphi(x) = \alpha x^{\alpha-1}, p = 1б 0 \leq \alpha \leq 1$

Любая функция $f \in \Lambda(\alpha)$ является функцией из $L_1$. Запишем $\|f\|=\int_0^1 |f(x)|dx$ для произвольной функции $f \in L_1$ и рассмотрим последовательность $\langle \varphi, \delta \rangle = \alpha \int_\delta^1 x^{\alpha - 1}f^\ast(x)\,dx$. При этом $\langle \varphi_\delta, f \rangle $ - непрерывный функционал в пространстве $L_1$, возрастающий при $\delta \to 0+$. Тем самым $\langle \varphi, f \rangle = \alpha \int\limits_0^1 x^{\alpha-1}f^\ast(x)dx = \lim\limits_{\delta\to0+} \langle \varphi_\delta, f \rangle$ является полунепрерывным снизу функционалом в $L_1$. Очевидно, что $\|f\|\leq \frac{1}{\alpha}\langle \varphi, f \rangle$ Пусть теперь $f_n \in \Lambda(\alpha)$ и $\langle \varphi, f_n - f_m \rangle \to 0$ при $n,m \to \infty$. Тогда $\|f_n-f_m\| \to 0$ при $n,m \to \infty$. Т. о. существует функция $f \in L_1$ такая, что $\|f_n - f\|\to 0$ при $n \to \infty$. Т. о. $\forall \varepsilon > 0: \exists p: \forall n,m \geq p \, \langle \varphi, f_n - f_m \rangle < \epsilon$. В силу полунепрерывности снизу $\varphi$ \begin{equation*} \langle \varphi, f_n - f \rangle \leq \varliminf_{m \to \infty} \langle \varphi, f_n - f_m \rangle \leq \varepsilon \end{equation*} Т. о. $f_n \to f$ в метрике $\Lambda(\alpha)$, что доказывает полноту.

Оно не совсем мне понятно, но по идее, оно может помочь для доказательства в общем случае, но я пока не вижу аналогии.

[Oleg Zubelevich]

я думаю, что рассуждать надо примрно так. Пусть $f_n$ -- последовательнсть Коши в $\Lambda$ значит $\varphi ^{1/p}f^*_n$ -- последовательность Коши в $L^p$ теперь надо отследить, что это означает для функций $f_n$

для начала это надо попробовать проделать для $\varphi=1$

[ProPupil]

Для $\varphi = 1$ это не составляет труда просто в силу определения невозрастающей перестановки: легко доказать, что $\int\limits_0^l f(x)\,dx = \int\limits_0^l f^\ast(x)\,dx$.

[ProPupil]

Найдено правильное решение

Я не думаю, что у кого-нибудь возникнет в будущем работа с этим пространством: довольно редко встречается, но вот решение для доказательства полноты.

По условию, $\|f\|^p=\int\limits_0^l\varphi(x)f^\ast(x)^p\,dx$. Т. к. убывающая перестановка по определению положительна, я могу переписать её в виде $\|f\|^p = \int\limits_0^l \varphi(x)\,dx\int\limits_0^{f^\ast(x)}ps^{p-1}\,ds$. В полученном двойном интеграле поменяем предел интегрирования: $\|f\|^p = \int\limits_0^{\infty} ps^{p-1}\,ds\int\limits_0^{\operatorname{mes} E[f^\ast > s]} \varphi(x)\,dx = \int\limits_0^{\infty} ps^{p-1}\,ds\int\limits_0^{\operatorname{mes} E[|f_n| > s]} \varphi(x)\,dx$ в силу равноизмеримости $|f|$ и $f^\ast$

Т. о. если $f_n$ фундаментальна в $\Lambda(\varphi,p)$, то она фундаментальна по мере. Значит, существует измеримая функция $f$ такая, что $f_n \to f$ по мере.
По теореме Рисса существует подпоследовательность (которую я обозначу с точностью до нумерации членов $f_m$), сходящаяся к $f$ почти всюду.

Фиксируем $n$.

$$\|f_n - f\| = \|\lim\limits_{m \to \infty} (f_n - f_m)\| \leq \varliminf\limits_{m \to \infty} \|f_n - f_m\| в силу леммы Фату.

При стремлении $n \to \infty$ правая часть стремится к нулю в силу фундаментальности, значит и левая стремится к нулю, что доказывает сходимость в норме этого пространства.