2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полнота пространства [math]$\Lambda(\varphi,p)$[/math]
Сообщение24.01.2015, 09:17 


05/02/13
128
Добрый день, я рассматриваю пространство $\Lambda(\varphi,p)$, которое определяется следующим образом:

Пусть $\varphi(x)$ - интегрируемая на $[0,l]$ неотрицательная невозрастающая функция, отличная от тождественного нуля. Пусть $1\leq p < \infty.$

Пусть $f(x)$ - измеримая на $[0,l]$ функция. Её невозрастающей перестановкой называется функция $f^\ast(x) = \inf\{s > 0: \operatorname{mes} E[|f|>s] \leq x\}$.

Говорят, что $f\in\Lambda(\varphi,p)$, если $\|f\| = \left(\int\limits_0^l \varphi(x)f^\ast(x)^p\,dx\right)^\frac{1}{p}$ конечна.

Необходимо доказать утверждение о том, что это пространство полно в введённой нами форме.
Мне бы хотелось узнать, как можно доказать полноту в общем случае?

Я прекрасно понимаю, что для этого надо взять фундаментальную в норме данного пространства последовательность и показать, что она сходится. Подскажите, пожалуйста, как доказать сходимость?

Добавление.
У автора имеется следующее доказательство для частного случая $\varphi(x) = \alpha x^{\alpha-1}, p = 1б 0 \leq \alpha \leq 1$

Любая функция $f \in \Lambda(\alpha)$ является функцией из $L_1$. Запишем $\|f\|=\int_0^1 |f(x)|dx$ для произвольной функции $f \in L_1$ и рассмотрим последовательность $\langle \varphi, \delta \rangle = \alpha \int_\delta^1 x^{\alpha - 1}f^\ast(x)\,dx$. При этом $\langle \varphi_\delta, f \rangle $ - непрерывный функционал в пространстве $L_1$, возрастающий при $\delta \to 0+$. Тем самым $\langle \varphi, f \rangle = \alpha \int\limits_0^1 x^{\alpha-1}f^\ast(x)dx = \lim\limits_{\delta\to0+} \langle \varphi_\delta, f \rangle$ является полунепрерывным снизу функционалом в $L_1$. Очевидно, что $\|f\|\leq \frac{1}{\alpha}\langle \varphi, f \rangle$

Пусть теперь $f_n \in \Lambda(\alpha)$ и $\langle \varphi, f_n - f_m \rangle \to 0$ при $n,m \to \infty$. Тогда $\|f_n-f_m\| \to 0$ при $n,m \to \infty$. Т. о. существует функция $f \in L_1$ такая, что $\|f_n - f\|\to 0$ при $n \to \infty$. 

Т. о. $\forall \varepsilon > 0: \exists p: \forall n,m \geq p \, \langle \varphi, f_n - f_m \rangle < \epsilon$. В силу полунепрерывности снизу $\varphi$ \begin{equation*}
\langle \varphi, f_n - f \rangle \leq \varliminf_{m \to \infty} \langle \varphi, f_n - f_m \rangle \leq \varepsilon
\end{equation*}

Т. о. $f_n \to f$ в метрике $\Lambda(\alpha)$, что доказывает полноту.

Оно не совсем мне понятно, но по идее, оно может помочь для доказательства в общем случае, но я пока не вижу аналогии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полнота пространства [math]$\Lambda(\varphi,p)$[/math]
Сообщение24.01.2015, 09:50 


10/02/11
6786
я думаю, что рассуждать надо примрно так. Пусть $f_n$ -- последовательнсть Коши в $\Lambda$ значит $\varphi ^{1/p}f^*_n$ -- последовательность Коши в $L^p$ теперь надо отследить, что это означает для функций $f_n$
Изображение
для начала это надо попробовать проделать для $\varphi=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Полнота пространства [math]$\Lambda(\varphi,p)$[/math]
Сообщение24.01.2015, 10:41 


05/02/13
128
Для $\varphi = 1$ это не составляет труда просто в силу определения невозрастающей перестановки: легко доказать, что $\int\limits_0^l f(x)\,dx = \int\limits_0^l f^\ast(x)\,dx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полнота пространства [math]$\Lambda(\varphi,p)$[/math]
Сообщение24.05.2015, 17:50 


05/02/13
128
Найдено правильное решение

Я не думаю, что у кого-нибудь возникнет в будущем работа с этим пространством: довольно редко встречается, но вот решение для доказательства полноты.

По условию, $\|f\|^p=\int\limits_0^l\varphi(x)f^\ast(x)^p\,dx$. Т. к. убывающая перестановка по определению положительна, я могу переписать её в виде $\|f\|^p = \int\limits_0^l \varphi(x)\,dx\int\limits_0^{f^\ast(x)}ps^{p-1}\,ds$. В полученном двойном интеграле поменяем предел интегрирования: $\|f\|^p = \int\limits_0^{\infty} ps^{p-1}\,ds\int\limits_0^{\operatorname{mes} E[f^\ast > s]} \varphi(x)\,dx = \int\limits_0^{\infty} ps^{p-1}\,ds\int\limits_0^{\operatorname{mes} E[|f_n| > s]} \varphi(x)\,dx$ в силу равноизмеримости $|f|$ и $f^\ast$

Т. о. если $f_n$ фундаментальна в $\Lambda(\varphi,p)$, то она фундаментальна по мере. Значит, существует измеримая функция $f$ такая, что $f_n \to f$ по мере.
По теореме Рисса существует подпоследовательность (которую я обозначу с точностью до нумерации членов $f_m$), сходящаяся к $f$ почти всюду.

Фиксируем $n$.

$$\|f_n - f\| = \|\lim\limits_{m \to \infty} (f_n - f_m)\| \leq \varliminf\limits_{m \to \infty} \|f_n - f_m\| в силу леммы Фату.

При стремлении $n \to \infty$ правая часть стремится к нулю в силу фундаментальности, значит и левая стремится к нулю, что доказывает сходимость в норме этого пространства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group