Еще немного теории вероятности -2

[geezer]

Ага,кажется понял и ответ на вопрос

geezer в сообщении #948583 писал(а):

А оперировать во второй части доказательства можно,в принципе, любыми конечными отрезками?

Там рассматривается окрестность точки $k$, и функция $f$, определенная так, как в первом посте, непрерывна в точке $k$ и ограничена на отрезке $[k-1/2 ; k + 1/2]$ по теореме Вейерштрасса, то есть функцию $f$ можно использовать для задачи: $Ef(\zeta_n) \rightarrow Ef(\zeta)$ .

[--mS--]

Ну вот, наконец-то.

geezer в сообщении #964658 писал(а):

Там рассматривается окрестность точки $k$, и функция $f$, определенная так, как в первом посте, непрерывна в точке $k$ и ограничена на отрезке $[k-1/2 ; k + 1/2]$

Непрерывна и ограничена всюду, а не на отрезке. См. определение слабой сходимости - туда можно подставлять, вообще говоря, только всюду непрерывные и ограниченные функции.

(Оффтоп)

geezer в сообщении #964652 писал(а):

Над стрелкой написано $W$. Я не нашел, как такое на форуме написать.

$W$ от "weak" - слабый. Пишется это так, например: $\stackrel{W}{\rightarrow}$.

[geezer]

А в другую сторону так?

Пусть $P_n(k) \rightarrow P(k)$. Тогда $P_n(k) = Ef(\zeta_n) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty f(k) P_n(k) \rightarrow \sum\limits_{k=-\infty}^\infty f(k) P(k) = Ef(\zeta) = P(k) $ для $\forall k \in Z$ и $n \rightarrow \infty$


Раз $Ef(\zeta_n) \rightarrow Ef(\zeta), n \rightarrow \infty$, то $P_n \stackrel{W}{\rightarrow} P$

[--mS--]

Что за ерунду Вы написали?

geezer в сообщении #967063 писал(а):

$P_n(k) = Ef(\zeta_n) = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty f(k) P_n(k)$...

У Вас же решение перед глазами:

geezer в сообщении #947425 писал(а):

В другую сторону доказывается через аналогичный переход в интегральных суммах, там более менее понятно.

[geezer]

(Оффтоп)

Вы уж простите, что я такой глупый - ну не идет никак этот теор. вер., хотя его надо всего лишь "сдать и забыть"...

В общем, преподаватель сказал доказывать с использованием функции распределения.

Может,мне станет понятнее, если Вы поясните, почему$ P_n(\zeta_n=k) = Ef(\zeta_n)$, $\forall k \in Z$ и $f$ - любая непрерывная и ограниченная функция. Слева - вероятность, а справа - некое среднее значение $f(\zeta_n)$, или я что-то не так понимаю (а оно видимо так и есть) ?

Что касается функции распределения, то по определению мат. ожидание вычисляется через функцию распределения и интеграл Римана-Стилтьетса так: $E\zeta = \int_{\Re}^{} x dF_{\zeta}(x)$, где $F_{\zeta}(x)$ - функция распределения случайной величины $\zeta$. А что дальше с этим делать? Конечно,я знаю, что в случае слабой сходимости $F_{\zeta_n}(x) \rightarrow F_{\zeta}(x)$.

-- 23.01.2015, 18:54 --

Хм,а не будет ли $P_n(\zeta_n=k) = F_{\zeta_n}(x)$ ?
И тогда $P_n(\zeta_n=k) = F_{\zeta_n}(x) \rightarrow F_{\zeta}(x) = P(k)$,если считать, что $P_n$ - распределение случайной величины $\zeta_n$ , а $P$ - распределение случайной величины $\zeta$.

И вообще,правильно ли я понимаю,что запись $P_n(\zeta_n = k)$ равносильна записи $P_n(k)$ ?

Как-то все так хорошо получается,что даже и не верится.

[geezer]

В общем,как я понял:
$P(\zeta = n )$ = какая-либо формула, $n$ - такое-то такое - так задается распределение.
А то, о чем спрашивается в задании - это просто значение вероятности для определенного целого числа.

Тогда,если $P_n(k) \rightarrow P(k)$, то $F_{\zeta_n}(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} P_n(k) \rightarrow \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} P(k) = F_{\zeta}(x) \Rightarrow P_n \stackrel{W}{\rightarrow} P$. Это так?

-- 23.01.2015, 20:21 --

Ну а то что постом выше - во многом вранье,конечно...

-- 23.01.2015, 20:32 --

В общем,не могу пока придумать, как доказать,что из слабой сходимости следует сходимость $P_n(k) \rightarrow P(k)$

[--mS--]

geezer в сообщении #967290 писал(а):

(Оффтоп)

Вы уж простите, что я такой глупый - ну не идет никак этот теор. вер., хотя его надо всего лишь "сдать и забыть"...

Нет, не прощу. Дело ни разу не в тупости, а в незнании основных определений. И этого никто не сделает за Вас.

Всё, перечисленное ниже, неверно:

geezer в сообщении #967290 писал(а):

$ P_n(\zeta_n=k) = Ef(\zeta_n)$, $\forall k \in Z$ и $f$ - любая непрерывная и ограниченная функция.
...
Конечно,я знаю, что в случае слабой сходимости $F_{\zeta_n}(x) \rightarrow F_{\zeta}(x)$.
...
Хм,а не будет ли $P_n(\zeta_n=k) = F_{\zeta_n}(x)$ ?
...
И тогда $P_n(\zeta_n=k) = F_{\zeta_n}(x) \rightarrow F_{\zeta}(x) = P(k)$

Последняя формула просто зашкаливает: неверны два равенства и одна стрелочка, а больше в ней ничего и нет.

-- Пт янв 23, 2015 23:50:37 --

geezer в сообщении #967341 писал(а):

$F_{\zeta_n}(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} P_n(k) \rightarrow \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} P(k) = F_{\zeta}(x)$. Это так?

Ещё лучше. Зачёркиваем оба равенства, а на месте стрелочки ставим "равно". Как Вы думаете, почему?

Отчего бы Вам не начать изучать теорию вероятностей хотя бы в рамках того курса, который Вам читался?

[geezer]

Я не понимаю,почему по вашему неверно то,что если есть слабая сходимость, то $F_{\zeta_n}(x) \rightarrow F_{\zeta}(x)$.

[--mS--]

Это можно прочесть в том определении (или критерии ли), что Вы же и приводили в сообщении post948342.html#p948342

Что такое точки непрерывности, знаете? Изучите, что такое функция распределения, потом - что такое дискретное распределение, потом - как выглядит функция распределения у дискретного распределения. Это чисто для начала.

[geezer]

--mS-- в сообщении #967357 писал(а):

что такое функция распределения

$F_{\zeta}(x) = P(w: \zeta(w)<x)$
То есть, для каждого значения $x$ функция распределения определяет вероятность того,что случайная величина $\zeta$ примет значение меньше $x$.

--mS-- в сообщении #967357 писал(а):

что такое дискретное распределение

Случайная величина $\zeta$ имеет дискретное распределение,если существует такой конечный или счетный набор чисел ${a_1,a_2,...}$,что $\sum\limits_{i=1}^{\infty} P(\zeta=a_i)=1$.
То есть, случайная величина может принимать только ограниченное число значений,и для каждого значения можно посчитать вероятность получения этого значения.

--mS-- в сообщении #967357 писал(а):

как выглядит функция распределения у дискретного распределения

Похожа на ступеньки. Например, задан такой ряд распределения: $x = \{1,2,3\}$ ; $P=\{0.1,0.3,0.6\}$. Если $x \leq 1$, то$ F(x)=0$. Если $1 < x \leq 2$,то $F(x) = 0.1$. Если $2 < x \leq 3$ , то $F(x) = 0.1+0.3=0.4$. Если $x>3$, то $F(x)=0.1+0.3+0.6=1$.

[--mS--]

Вы не мне это рассказывайте, а со своим вопросом разберитесь с помощью этих определений.

[geezer]

По поводу $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}P_n(k) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}P(k)$ понял. Потому что они обе равны 1.

По поводу точек непрерывности функции распределения - в этой задаче этими точками являются все целые числа,так?

-- 23.01.2015, 21:50 --

А $x$,по определению функции распределения,может быть любым.

[--mS--]

geezer в сообщении #967377 писал(а):

По поводу точек непрерывности функции распределения - в этой задаче этими точками являются все целые числа,так?

Даже не знаю, что сказать.